快速幂算法

快 速 幂 算 法

这次在参加网络算法比赛中遇到需要算多次幂的问题，即求出4ⁱ从n到m的累加和，虽然n和m之间的间隔不超过10⁵，但是本身n和m的范围是从1到10¹⁹，这意味着如果我每个都从头开始算它的4次幂，算法复杂度要O（n²），即便我从1次幂开始算一直到算到m次幂，复杂度降到O（n），可是这个n的范围是从1到10¹⁹，也远远达不到题目要求的时间限制。

所以这里需要用到快速幂算法，每算出一个指定幂的时间复杂度为log₂（n）。

快速幂思想

我们知道如果让一个数本身乘以本身，不断重复下去，你会发现什么规律？

举例5这个数，伪代码，第一次5*5=25，第二次25*25=625，第三次625*625……化成指数形式就是5¹*5¹=5²，5²*5²=5⁴，5⁴*5⁴=5⁸……

我们可以发现上面等号左边的数指数以2^n-1的规律往下走，等号右边的数的规律则是2ⁿ

如果我想要算出5的13次幂这个数，13这个数用2次幂来表示怎么表示？熟悉二进制的人都知道应该是1101=8+4+1=13，即2³+2²+2⁰

聪明的人可能已经发现这两者之间的规律了——用二进制表示的数来表示之前幂次，当当前幂次是目标幂次的和的部分时，则取当前幂次；否则不取。

至于如何判断当前幂次是否是目标幂次的和的部分，前面其实已经说了，13₁₀=1101₂，每个为1的部分都是你的目标幂次所需要的部分，每次循环的时候让当前幂次数和1相与&，如果为1说明当前幂次数是你所需要的。

C++代码如下：

long long fastpower(long long base,long long e)
{
    long long sum=1;
　　　　//base为底数，e为指定幂次数，sum是求出指定幂次数的结果
    while(e)
    {
        if(e&1)
            sum=sum*base;
        e=e>>1;
        base=base*base;
    }
    return sum;
}

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这次2021牛客寒假算法训练营练习中碰到了快速幂求逆元的问题，这里简单阐述一下问题来源：

在正常的算法比赛中，经常会遇到需要对结果进行取模的题目，而一般取模的题目是并不是只是对结果取模即可，而是要对整个过程中迭代的数据进行取模，而取模后的数如果要进行除法该怎么办？

我们正常对取模后的数进行恢复都是需要商的，即商*模数+取模后的数=原来的数（可能大佬们有别的办法吧呜呜。我正常都是这样算的），但我们不可能对这些所有迭代过程中的商都进行记录，因为真的毫无意义而且浪费空间。。。

因此这里需要用到快速幂算法求乘法逆元。参考https://blog.csdn.net/Kerryliuyue/article/details/107849522

根据这个大佬的解释可以得出一个结论：a/b=a*b^m-2。b与m必须互质且为整数，当模数m为质数时，b^m-2即为b的乘法逆元。

再根据上文的快速幂算法模板，就可以算出这个乘法逆元了。