UVa 106 - Fermat vs. Pythagoras 素勾股数

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题目大意：

给你一个N，计算出1-N内所有的勾股数，要求a和b和c互质，同时计算p，p表示1-N中不能构成勾股数的数字的个数，其中没有互质的也算，比如6,8,10也算算，如果N是10，那么p就是4。

由于给的N的范围是1000000以内，所以用普通的枚举的方法肯定会TLE的，所以需要进行优化。

首先考虑平方数的性质，对于一个奇数(2n+1)，(2n+1)² = 4(n² + n) + 1，所以 (2n+1)² = 1 (mod 4).

对于一个偶数(2n)，(2n)² = 4n²，所以(2n)² = 0 (mod 4)。

所以如果一个数要是平方数，那么这个数肯定mod 4余一或者余零。

 

首先，x，y互质，所以x和y中至少有一个奇数。考虑上面说过的平方数的性质，x和y中只有一个是奇数。证明如下：

　　先假设x和y都为奇数，那么x = 2m + 1, y = 2n + 1,所以 x² + y² = (2m+1)² + (2n+1)² = 4(m² + n² + m + n) + 2 = 2 (mod 4)，所以明显不是平方数。所以x和y中只能有一个奇数。

又z和x，y都互质，且x，y中有一个偶数，那么z必定也是奇数。

欧几里得法则：x = sqrt(mn), y = (m - n)/2, z = (m + n)/2.(其中m、n同奇或者同偶，并且mn是完全平方数)

证明：x² = mn , y² = (m² + 2mn + n²)/4, z² = (m² + 2mn + n²)/4, 易得x² + y² = z²,，且按照对m和n的限制，x，y和z均为整数。

丢番图法则： x = m + sqrt(2mn), y = n + sqrt(2mn), z = m + n + sqrt(2mn).(其中2mn为完全平方数)

证明：x² = m² + 2mn + 2m * sqrt(2mn), y² = n² + 2mn + 2n * sqrt(2mn), z² = m² + n² + 4mn + 2(m + n) * sqrt(2mn). 易知 x² + y² = z²，且按照对m和n的限制，x，y和z均为整数。

毕达哥拉斯法则： x = 2n + 1,  y = 2n² + 2n,  z = 2n² + 2n + 1.(n >= 1)即在一组勾股数中，当最小边为奇数的时候，它的平方正好等于另外两个连续的正整数之和。

证明：x² = (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1 = (2n² + 2n) + (2n² + 2n + 1)，易知 (2n + 1)2 + (2n² + 2n)² = (2n² + 2n + 1)²

柏拉图法则：x = 2n, y = n² - 1, z = n² + 1.(n>=2)。即在一组勾股数中，当最小边为偶数的时候，它的平方和刚刚好等于两个连续整数之和的两倍。

证明：(x²)/2 = 2n² = (n² - 1) + (n² + 1), 易知 (2n)² + (n² - 1)² = (n² + 1)²;

勾股数法则：x = m² - n², y = 2mn, z = m² + n².(m > n)

证明：x² = m⁴ - 2m² * n² + n⁴, y² = 4m² * n², z² =m⁴ + 2m² * n² + n⁴，易得 x² + y² = z².

 

顺便提一下勾股数通解公式。取定 x (x >= 3)的值后，如果k能使 y = (x² - k²)/2k为整数，z = y + k，则x，y，z必是勾股数。

这里，使上式中的(x² - k²) / 2k的值恒为整数的k值条件是：

　　若 x ≥3 且为奇数，在 x² 标准分解因数（包括1）全排列重组乘积中，取小于x的因数积为k。如x=15, 15² = 1 * 3² * 5², k = 1, 3, 5, 3².

　　若 x ≥4 且为偶数，在 x² 标准分解因数（包括1）中去掉一个2后为有效因数，在有效因数全排列重组乘积中，取小于x的偶数因数积为k。 如x=10, 10² = 1 * 2² * 5², k = 2.

 

勾股数再生公式。a² + b² = c²,那么 x = 2(a + c) + b, y = 2(b + c) + a, z = 2(a + b) + 3c, 那么x² + y² = z².

 

上面的各种法则中，明显是勾股数法则最合适，而且还可以将N从10^6降到10^3，这样想怎样暴力都没问题了。不过勾股数法则并不能表示所有的勾股数对，例如9， 12， 15 就没办法找出对应的 m 和 n，但是幸好这个特例是不是互质的，那我们是不是可以勾股数法则可以求出所有的质勾股数，勾股数法会遗漏掉的是m，n为分数的情况和m，n为无理数的情况，接下来分别讨论这两种情况。

　　①假设m，n是分数，分别取m/a和n/b (a,b,m,n均为整数, m/a和n/b都是最简分数,且m/a > n/b)，所以x = (m/a)² - (n/b)², y = 2mn/ab,z =(m/a)² + (n/b)²,所以 x + y = 2(m/a)²，因为x和y都是整数，又a² != 2,所以2(m/a)²显然不是整数，所以矛盾了，该假设不成立。

　　②假设m和n是无理数。分别取m * sqrt(a), n * sqrt(b) （ a,b,m,n均为整数, a和b均无法提取出整数 ,且m * sqrt(a) > n * sqrt(b) ）。x = m² * a - n² * b, y = 2mnab, z = m² * a + n² * b, 因为y是整数，所以a = b,不然y就不是有理数了。所以x = a * (m² - n²）, y = a * 2mna, z = a * (m² + n²).显然x，y，z不是互质的。

综上所述，勾股数法则可以求出所有的质勾股数。同时，当我们将质勾股数乘以k倍的时候，可以得到当m和n是无理数的时候遗漏所有勾股数。

 

做到这里程序基本就可以过了，但关于m和n的取值还可以进一步优化。当m和n奇偶性相同的时候，所以可以不用考虑。

令gcd(m,n) = d，当d ！= 1时，x = m² - n²可以整除d², y = 2mn可以整除d²,所以gcd(x,y) = d²，所以也可以不用考虑。

接下来是代码

#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 1000 + 5;

int cnt;
int N, p;
int a, b, c;
int vis[MAXN * MAXN];

int gcd(int x, int y)
{
    return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);
}

int main()
{
    cin.sync_with_stdio(false);

    while(cin >> N)
    {
        cnt = p = 0;
        memset(vis, 0, sizeof(vis));

        for(int n = 1; n * n <= N; ++ n)
            for(int m = n + 1; (c = n * n + m * m) && c <= N; ++ m)

                //m和n同奇偶，那么a，b，c都会是偶数
                if((m & 1) + (n & 1) == 1 && gcd(m, n) == 1)
                {
                    ++cnt;
                    b = (m * n) << 1;
                    a = m * m - n * n;

                    for(int k = 1; c * k <= N; ++k)
                        vis[k * a] = vis[k * b] = vis[k * c] = 1;
                }

        for(int i = 1; i <= N; ++ i)
            if(vis[i] == 0)
                ++p;

        cout << cnt << ' ' << p << endl;
    }

    return 0;
}