题解：P5306 [COCI 2018/2019 #5] Transport

点分治的一道好题。

首先要把题目的油量限制转化成下面的形式。

考虑一条 \(u\) 到 \(v\) 的路径（注意是有向的），把这条路径抽出来，对点权、边权编一下号：

那么题目要让我们满足的是对于 \(\forall 1\le i<n\)，都有 \(Sa_i-Sw_i\ge 0\)，其中 \(Sa_i,Sb_i\) 分别表示点权、边权的前缀和。

点分治完后，只需要考虑跨顶点的路径，这样一条路径有两段，一段是端点 \(u\) 向上到根节点 \(rt\)，另一段是从根 \(rt\) 向下到端点 \(v\)，那么先分开来看。

先看向下走的吧，如果直接判 \(rt\) 到 \(v\) 的路径合法性是不对的，因为有可能向上走的路径到了 \(rt\) 多出了一些油量 \(last\)，他可以贡献给向下的路径。

那我们需要找到这条路径上的极值，也就是 \(minn=\min Sa_i-Sw_i\)。不难想到，如果剩余的油量加上这个最小值都大于等于 \(0\) 了，说明对于任何一个前缀和之差都满足大于等于 \(0\) 了，这条路径就是合法的。

所以对于向下的路径，保留所有路径，并顺着记录这个最小值。

再来看向上的路径，向上的路径不用管我们之前说的剩余问题了，所以我们只用判断它合不合法，以及剩余油量。

剩余油量很好求出，但是由于路径是从底下往上走到根的，所以我们要维护出到根的前缀的一些信息，来方便我们进行判断。

考虑已经求出了 \(i\) 号节点的信息，现在遍历到了 \(u\)，那么会有以下几种情况。

1. \(a_u-w_u<0\)，说明 \(u\) 往上走一下到 \(i\) 就不合法。
2. 否则 \(a_u-w_u\ge 0\)，此时这个值相当于剩余油量会贡献到之上的路径判断中，所以我们同样要维护一个最小值。

具体的，最小值的维护形如这样，\(minn_u=\min(minn_i,0)+a_u-w_u\)，什么意思呢，如果 \(minn_i\) 即 \(i\) 之上的最小值都大于 \(0\)，那么最小值一定产生在 \(u\) 到 \(i\) 这条边上，否则就在之前的最小值上，然后 \(a_u-w_u\) 相当于一个剩余油量，会贡献给每一个 \(u\) 到 \(rt\) 的边，所以最小值是加上这个东西。

如果 \(minn_u\ge 0\) 说明 \(u\) 到 \(rt\) 的路径合法，记录一下剩余油量 \(last\)（注意并不等于 \(minn\)），最后就是找向上的剩余油量 \(last\)，以及向下的限制 \(minn\)，\(last+minn\ge 0\) 的对数。

特殊的，是以 \(rt\) 作为起点、终点的路径，特殊处理下，以及在同一个根节点儿子的子树内的，容斥掉就行了。

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
typedef long long ll;
int n,tot=1,head[N];
struct edge{
	int to,next;
	ll dis;
}e[N<<1];
void add(int from,int to,ll dis){
	e[++tot]={to,head[from],dis};
	head[from]=tot;
}
bool vis[N];
int f,g,F,G,siz[N];
ll ans,a[N],down[N],up[N],Down[N],Up[N];
void getsize(int u,int fa){
	siz[u]=1;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
		int v=e[i].to;
		if(v!=fa&&!vis[v]){
			getsize(v,u);
			siz[u]+=siz[v];
		}
	}
}
int getroot(int u,int fa){
	getsize(u,fa);
	int half=siz[u]>>1;
	bool flag=false;
	while(!flag){
		flag=true;
		for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
			int v=e[i].to;
			if(v!=fa&&!vis[v]&&siz[v]>half){
				fa=u,u=v,flag=false;
				break;
			}
		}
	}
	return u;
}
void dfs1(int u,int fa,ll sa,ll sw,ll minn){ //往下走 rt->v
	down[++f]=minn;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
		int v=e[i].to;
		if(v!=fa&&!vis[v]){
			dfs1(v,u,sa+a[u],sw+e[i].dis,min(minn,(sa+a[u])-(sw+e[i].dis)));
		}
	}
}
void dfs2(int u,int fa,ll sa,ll sw,ll minn){ //往上走 v->son(rt)
	if(minn>=0){
		up[++g]=sa-sw;
	}
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
		int v=e[i].to;
		if(v!=fa&&!vis[v]){
			dfs2(v,u,sa+a[v],sw+e[i].dis,min(minn,0ll)+a[v]-e[i].dis);
		}
	}
}
void calc(int u){
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
		int v=e[i].to;
		if(!vis[v]){  
			dfs1(v,u,a[u],e[i].dis,a[u]-e[i].dis); //求down 
			dfs2(v,u,a[v],e[i].dis,a[v]-e[i].dis); //求up 
			sort(down+1,down+f+1);	
			for(int j=1;j<=g;j++){ 
				int id=lower_bound(down+1,down+f+1,-up[j])-down;
				ans-=(f-id+1); //先容斥掉 
			} 
			for(int j=1;j<=f;j++){
				Down[++F]=down[j];
				if(down[j]>=0) ans++; //rt->v
			}
			f=0;
			for(int j=1;j<=g;j++){
				Up[++G]=up[j];
				ans++; //v->rt
			}
			g=0;
		}
	}
	sort(Down+1,Down+F+1);	
	for(int j=1;j<=G;j++){
		int id=lower_bound(Down+1,Down+F+1,-Up[j])-Down;
		ans+=(F-id+1); //跨过顶点 
	} 
	F=G=0;
}
void solve(int u){
	vis[u]=1;
	calc(u);
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
		int v=e[i].to;
		if(!vis[v]) solve(getroot(v,u));
	}
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	for(int i=1,x,y,z;i<n;i++){
		cin>>x>>y>>z;
		add(x,y,z),add(y,x,z);
	}
	solve(getroot(1,0));
	cout<<ans;
	return 0;
}