有理标准型与Jordan标准型

$\S$1.有理标准型

思想：数域 \(\mathbb{F}\)上的\(n\)阶矩阵的相似等价类由矩阵的不变因子或者初等因子确定，我们
可以利用初等因子在每个相似等价类中找一个形式简单的代表矩阵。

\(Def\)

\(\color{red}{Def}\) 设

\[f(\lambda)=\lambda^n+b_1\lambda_{n-1}+...+b_{n-1}\lambda+b_n\in \mathbb{F}[\lambda] \]

称\(n\)阶方阵

\[A= \begin{pmatrix} 0&0&...&0&-b_n \\ 1&0&...&0&-b_{n-1}\\ 0&1&...&0&-b_{n-2}\\ ...&...&...&...&...\\ 0&...&...&1&-b_{1} \end{pmatrix} \]

为多项式\(f(\lambda)\)的\(\color{red}{伴侣矩阵或友阵(companion matrix/rational block)}\)

\(例1\) 矩阵\(A\)的特征多项式

\[f_A{\lambda}=|\lambda E_n-A|= \left| \begin{matrix} \lambda&0&...&0&b_n\\ -1&\lambda&...&0&b_{n-1}\\ ...&...&...&...&...\\ 0&0&...&\lambda&b_2\\ 0&0&...&-1&\lambda+b_1 \end{matrix}\right | \\ =(\lambda+b_1)\lambda^{n-1}+b_2*(-1)^{n-1+n}\left | \begin{matrix} \lambda\\ -1&\lambda\\ &&...&&\\ &&&-1&\lambda&\\ &&&&0&-1 \end{matrix}\right| +...+b_n*(-1)^{1+n}\left |\begin{matrix} -1&\lambda&...&0\\ ...\\ &&-1&\lambda\\ &&&-1 \end{matrix}\right | =f(\lambda) \]

\(例2\) 矩阵\(A\)的极小多项式

\(\color{red}{Claim}\) \(m_A{(\lambda)}=f_A{(\lambda)}=f{(\lambda)}\) 或者说任意\(deg <n\)的多项式都不能零化矩阵。(\(\iff\mathbb{E}_n,A,A_2,...,A^{n-1}\)线性无关,\(A\in M_n{\mathbb{(F)}}\))
\(Proof\) 令\(\epsilon_1,\epsilon_2,...,\epsilon_n\)是\(\mathbb{F}^n\)的标准单位向量，
则\(A(\epsilon_{i})=\epsilon_{i+1} ,1\leq i\leq n-1\)
设\(k_0,k_1,...,k_{n-1}\in \mathbb{F}\)满足\(k_0\epsilon_1+k_1\epsilon_2+...+k_{n-1}\epsilon_{n}=0\)
那么\((k_0E+k_1A+...+k_{n-1}A^{n-1})\epsilon_1=k_0\epsilon_1+...+k_{n-1}\epsilon_{n}=0\)
则\(k_0=k_1=...=k_{n-1}=0\)必然成立，线性无关得证。
所以\(m_A{(\lambda)}=f(\lambda)\)

\(例3\) 矩阵\(A\)的行列式因子和不变因子

需要注意的是，\(A\)已经存在了一个行列式为\((-1)^{n-1+2+1}\)的\(n-1\)阶子式，故行列式因子

\[D_1(\lambda)=D_2(\lambda)=...=D_{n-1}{(\lambda)}=1,D_n{(\lambda)}=f(\lambda) \]

不变因子

\[d_1(\lambda)=...=d_{n-1}(\lambda)=1,d_n{\lambda}=f(\lambda) \]

\(Thm\)

\(\color{red}{Thm}\) 设\(A\in M_n{\mathbb{(F)}}\)，则\(A\)一定相似于对角块为友阵的准对角块。特别地，若\(g_1(\lambda),...,g_t(\lambda)\)是\(\lambda\)的所有初等因子，则\(A\)与\(N\)相似，

\[其中，N=\begin{pmatrix}N_1&&\\&...&\\&&N_t\end{pmatrix},N_i是g_i(\lambda)的友阵 \]

并且，在不计对角块顺序的情况下唯一。
\(证明：\)

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只需要证明$A$与$N$相似$\iff N$的初等因子为$g_1(\lambda),...,g_t(\lambda)\\$ 设$n_i=deg g_i(\lambda)\Rightarrow N_i\in M_{N_i}(\mathbb{(F)})$ $$ \lambda E_n-N= \begin{pmatrix} \lambda E_{n_1}-N_1 && \\ ...&...&...\\ &&\lambda E_{n_t}-N_t\\ \end{pmatrix} $$ 由$N_i$是$g_i(\lambda)$的友阵知$N_i$的不变因子为$1,1,...,1,g_i(\lambda)$(包含了$n_i-1$个$1$)$\Rightarrow$ $$ \lambda E_{n_i}-N_i与 \begin{pmatrix} 1&&\\ ...&...&...\\ &&g_i(\lambda) \end{pmatrix} 相抵 $$ $\Rightarrow$ $$ \exists Q_i(\lambda),P_i(\lambda)可逆 s.t. P_i(\lambda)(\lambda E_{n_i}-N_i)Q_i(\lambda)= \begin{pmatrix} 1&&\\ &...&\\ &&g_i(\lambda) \end{pmatrix} $$ 则令 $$ P(\lambda)= \begin{pmatrix} P_1(\lambda)&&\\ &...&\\ &&P_t(\lambda) \end{pmatrix} Q(\lambda)= \begin{pmatrix} ,Q_1(\lambda)&&\\ &...&\\ &&Q_t(\lambda) \end{pmatrix} $$ 由已知$P(\lambda),Q(\lambda)$必然可逆，则 $$ P(\lambda)(\lambda E_n-N)Q(\lambda)= \left [ \begin{matrix} \begin{pmatrix} 1&&\\ &...&\\ &&g_1(\lambda) \end{pmatrix} &&\\ &...&\\ && \begin{pmatrix} 1&&\\ &...&\\ &&g_t(\lambda) \end{pmatrix} \end{matrix} \right ] \triangleq B(\lambda) $$ 即$\lambda E_n-N$与$B(\lambda)$相抵$(\iff)\Rightarrow$有相同的初等因子。 而$B(\lambda)$的初等因子为$g_1(\lambda),...,g_t(\lambda)$的准素因子， 且 $g_i(\lambda)$ 是 $A$ 的准素因子 $\Rightarrow B(\lambda)$的初等因子就是$g_1(\lambda),...,g_t(\lambda)$ $\Rightarrow N与A有相同的初等因子\Rightarrow 相似$

\(Def\)

\(\color{red}{Def}\) 称\(N\)为\(A\)的有理标准型\(/Frobenius\)标准型。

\(RK\)

\(\color{blue}{RK}\) \(A\in M_n(\mathbb{F})\)
\( (1)D_n(\lambda)=f_A(\lambda)\\ (2)A的所有不变因子的积为f_A(\lambda)\\ (3)A的初等因子之积为f_A(\lambda)\\ (4)A的第n个不变因子为A的极小多项式 \)

Thm

\(\color{red}{Thm}\) $A\in M_n(\mathbb{F}),d_n(\lambda)是A的第n个不变因子，则m_A(\lambda)=d_n(\lambda).

Cor

\(\color{red}{Cor}\) 设\(A\in M_n(\mathbb(F)) \subseet M_n(\mathbb{R}),设m_1(\lambda)为A作为\mathbb{F}上矩阵的极小多项式,m_2(\lambda)为\mathbb{R}上的，则m_1(\lambda)=m_2(\lambda).\)
证明：

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$$ 设g_1(\lambda),...,g_t(\lambda) 是A的所有的初等因子\\ \Rightarrow [g_1(\lambda),...,g_t(\lambda)]=d_n(\lambda). 由有理标准型，A与N相似,N= \begin{pmatrix} N_1\\ &...\\ &&N_t \end{pmatrix} ,N_i为g_i(\lambda)的友阵。 \Rightarrow m_A(\lambda)=m_x(\lambda)=[m_{N_1}(\lambda),...,m_{N_t}(\lambda)]=[g_1(\lambda),...,g_t(\lambda)] $$

\(\S2\ Jordan标准型(\mathbb{R}上)\)

\(Def\)

\(\color{red}{Def}\)

\[设k\in \mathbb{C},称如下形式的矩阵 J_n(k)\triangleq \begin{pmatrix} k\\ 1&k\\ &1&k\\ &&&...\\ &&&&k\\ &&&&1&k\\ \end{pmatrix}\in M_n(\mathbb{C}) 或其转置矩阵为一个n阶Jordan块. 称对角线为Jordan块的准对角为Jordan块的准对角线矩阵为一个Jordan矩阵，并且其中每一个Jordan块的形式是相同的. \]

\(例3\ J_n的行列式因子和初等因子\)

\[\lambda E_n-J_n(k)= \begin{pmatrix} \lambda-k\\ -1&\lambda-k\\ &-1\\ &&...\\ &&&\lambda-k\\ &&&-1&\lambda-k \end{pmatrix}\\ 注意到有一个行列式绝对值为1的n-1阶子式 \Rightarrow D_{n-1}(J_n(k))=1 D_n(J_n(k))=(\lambda-k)^N \Rightarrow J_n(k)的初等因子为(\lambda-k)^n \]

\(Thm\)

\(\color{red}{Thm}\) \(\mathbb{C}\)上任意矩阵与一个\(Jordan\)阵相似，特别地，若\(A\)的初等因子为\((\lambda-\lambda_1)^{n_1},...,(\lambda-\lambda)^{n_t}\)，则\(A\)相似于

\[J_A\triangleq \begin{pmatrix} J_{n_1}(\lambda_1)&&\\ &...&\\ &&J_{n_t}(\lambda_t) \end{pmatrix} \]

同时，我们称\(J_A\)为\(A\)的\(Jordan\)标准型。(不计对角块顺序唯一)
证明：

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只需证\(J_A\)的初等因子为\((\lambda-\lambda_1)^{n_1},...,(\lambda-\lambda_t)^{n_t}\)\n
已知

\[\lambda E_{n_i}-J_{n_i}(\lambda_i)与 \begin{pmatrix} 1&&\\ &...&\\ &&(\lambda-\lambda_i)^{n_i}\\ \end{pmatrix} \Rightarrow \lambda E_n-J_n{\lambda}与 \left [ \begin{matrix} \begin{pmatrix} 1&&\\ &...&\\ &&(\lambda-\lambda_1)^{n_1}\\ \end{pmatrix}&&\\ &...&\\ &&\begin{pmatrix} 1&&\\ &...&\\ &&(\lambda-\lambda_t)^{n_t}\\ \end{pmatrix} \end{matrix} \right ] 相抵 \]

于是有相同的初等因子为\((\lambda-\lambda_1)^{n_1},...,(\lambda-\lambda_t)^{n_t}\)

RK

\(\color{blue}{RK}\) 设\(A\in M_n(\mathbb{C})\),\(\lambda_0\in\mathbb{C}\)是\(A\)的一个特征值。
\( (1) 则A的Jordan标准型中以\lambda_0为Jordan块的个数=dim_{\mathbb{C}}V_{\lambda_0}=n-r(\lambda E_n -A) \)

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$$ 设J_A中有s个以\lambda_0为特征值的Jordan标准块 A 与J_A相似 \Rightarrow \lambda E_n-A 相似于 \lambda_0 E_n-J_A 不妨设J_A= \begin{pmatrix} J_{L_1}(\lambda_0)&&\\ &...&\\ &&J_{L_s}(\lambda_0)\\ &&&J_1\\ &&&&...&\\ &&&&&J_m\\ \end{pmatrix} 其中J_1,...,J_m不以\lambda_0为特征值。\\ r(\lambda_0E_n-A)=r(\lambda_0E_n-J_A)\\ \lambda_0 E_n-J_A= \begin{pmatrix} \lambda_0E_{L_1}-J_{L_1}(\lambda_0)\\ &...\\ &&\lambda_0E_{L_s}-J_{L_s}(\lambda_0)\\ &&&\lambda_0E-J_1\\ &&&&...\\ &&&&&\lambda_0E-J_n\\ \end{pmatrix} \Rightarrow n-r(\lambda_0-E_n-J_A)=s $$

\( (2)J_A中以\lambda_0为特征值的所有Jordan块的阶的和=\lambda_0的代数重数. \)

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$ \Rightarrow f_A(\lambda)=f_{J_A}(\lambda)=\|\lambda E_{L_1}-J_{L_1}(\lambda_0)\|*...*\|\lambda E-J_m\|\\ =f_{J_{L_1}(\lambda_0)}(\lambda)*...*f_{J_m}(\lambda)\\ =(\lambda-\lambda_0)^{L_1}*...*(\lambda-\lambda_0)^{L_s}*f_{J_1}(\lambda)*...*f_{J_m}(\lambda).\\ 由假设，\lambda - \lambda_0 \nmid f_{J_1}(\lambda)*...*f_{J_m}(\lambda)\\ 所以，\lambda_0 的代数重数= l_1 +...+ l_s . $

\( (3)J_A中以\lambda_0为特征值的Jordan块且阶\geq 2的个数为rank(\lambda_0 E_n-A)-rank[(\lambda_0 E_n-A)^2]\\ (阶次为t的)n-2rank(\lambda_0E_n-A)+rank[(\lambda_0E_n-A)^2] \)

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$$ 设有t个\lambda_0的一阶块。\\ 则A可以设为 \begin{pmatrix} \lambda_0\\ &...\\ &&\lambda_0\\ &&&J_{L_1}(\lambda_0)\\ &&&&...\\ &&&&&J_{L_s}(\lambda_0)\\ &&&&&&J_1\\ &&&&&&&...\\ &&&&&&&&J_m \end{pmatrix}\\ \lambda_oE_n-J_A= \begin{pmatrix} 0*E_t\\ &-J_{L_1}(0)\\ &&...\\ &&&J_{L_s}(0)\\ &&&&\lambda_0E-J_1\\ &&&&&...\\ &&&&&&\lambda_0E-J_m \end{pmatrix}\\ (\lambda_0E_n-J_A)^2= \begin{pmatrix} (0*E_t)^2\\ &(-J_{L_1}(0))^2\\ &&...\\ &&&(-J_{L_s}(0))^2\\ &&&&(\lambda_0E-J_1)^2\\ &&&&&...\\ &&&&&&(\lambda_0E-J_m)^2\\ \end{pmatrix}\\ r(\lambda_0E_n-J_A)=n-t-s.\\ r[(\lambda_0E_n-J_A)^2]=n-t-2s. $$

\(ex\)

\( A\in M_n(\mathbb{C}),J_A是A的Jordan标准型，\lambda_0是A的特征值，\lambda_0\in mathbb{C}\\ 则J_A中以\lambda_0为特征值且阶\geq t的Jordan块的个数=rank[(\lambda_0E_n-A)^{t-1}]-rank[(\lambda_0E_n-A)^t] \)

\(ex\)

\( A\in M_n(\mathbb{F})且f_A(\lambda)=\prod (\lambda-\lambda_i)^{r_i},\lambda_i\in\mathbb{F},r_i\leq 1. 问A在\mathbb{F}上是否与J_A相似. \)

\(例\ 求A的Jordan标准型J_A及可逆矩阵P，AP=PJ_A\)

\( 1.A= \begin{pmatrix} 13&16&16\\ -5&-7&-6\\ -6&-8&-7\\ \end{pmatrix}\\ (1)求得f_A{\lambda}=(\lambda-1)^2(\lambda+3)\\ (2)求所有特征值的特征子空间(解线性方程)\\ 利用\lambda_iE_3-A\\ \lambda=-3,\xi_1=\begin{pmatrix} 2\\-1\\-1 \end{pmatrix}\\ \lambda=1,\xi_2=\begin{pmatrix} 4\\-1\\-2 \end{pmatrix}\\ J_A=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 1&1&0\\ 0&0&-3\\ \end{pmatrix}\\ (3)P=\begin{pmatrix} \gamma_1&\gamma_2&\gamma_3 \end{pmatrix},解AP=PJ_A. \\2.A=\begin{pmatrix} 2&-1&-1\\ 2&-1&-2\\ -1&1&2\\ \end{pmatrix} \)

\(ex\ \color{red}{Jordan-Chevalley分解}\)

\( A\in M_n{\mathbb{C}},证明:存在一个幂零矩阵B(\exists k\in\mathbb{N},B^k=\mathbb{0})以及一个可对角化的矩阵C,使得A=B+C且BC=CB(半单矩阵semisimple) \)