P12038题解报告

这是一位五年级菜逼的第 15 篇题解，写的不好见谅。

题目传送门，题意很简单，就不多赘述了。

题目要求选择一个连通块，使得这个连通块的点权和 \(\bmod m\) 最小。而在一颗树中，重心和将它分割后的两个连通块是有大小关系的，所以我们可以重点讨论重心的情况。

我们不妨假设重心为 \(u\)，分两种情况讨论。

如果 \(u\) 不在所选的连通块中，不妨将 \(u\) 删掉，那么剩下的两个连通块的大小一定不超过 \(\frac{n}{2}\)。所以可以枚举被分割的几个连通块的子集，统计答案即可。复杂度不超过 \(O(n \times 2^{\frac{n}{2}})\)。

如果 \(u\) 在所选的连通块中，考虑换根到 \(u\)。通过大眼睛观察法，我们猜测：

总能将 \(u\) 的子树分为集合 \(S, T\)，使得 \(\max\{|S|, |T|\} \le \frac{2}{3}n\)。

我们证明一下：

考虑数学归纳法证明。
若 \(u\) 的度数 \(\le 3\)，根据平均数原理，必然存在一个子树，它的大小 \(\ge \frac{n}{3}\)。我们不妨假设这个子树就是 \(S\)，剩下的为 \(T\)，则 \(|T| \le \frac{2}{3}n\)。又由于 \(u\) 为重心，所以 \(|S| \le \frac{n}{2}\)，结论显然成立。
若当 \(u\) 的度数为 \(k \le 3\) 的时候成立，则当 \(u\) 的度数为 \(k + 1\) 时，再次根据平均数原理，最小的子树大小和次小的子树大小之和 \(\le \frac{2}{k + 1}n \le \frac{1}{2}n\)，所以考虑将它们合并，那么 \(u\) 仍然是重心，此时 \(u\) 的度数变成了 \(k\)。由归纳假设，当 \(u\) 的度数为 \(k + 1\) 时依然成立。
由数学归纳法，命题成立。

那么根据我们刚才的证明操作，我们可以求出 \(S, T\)，那么所选的集合一定是 \(S\) 的子集和 \(T\) 的子集的并集。我们就可以枚举 \(S\) 的子集，枚举 \(T\) 的子集后将所枚举到的子树权值和 \(\bmod m\) 的值记录到两个数组中，那么问题就变成了：

有两个集合，集合内的元素均 \(< m\)，在每个集合内选一个数，请你求出所选的数的和 \(\bmod m\) 的最大值。

我们假设选的两个数为 \(x, y\)，则答案为 \(x + y\) 或 \(x + y - m\)。我们只需考虑是否要 \(- m\) 即可。如果不减 \(m\)，考虑枚举 \(x\)，\(y\) 就是第二个序列中最大的 \(< m - x\) 的值。如果 \(- m\)，那么 \(y\) 就是第二个序列中最大的。最后求答案即可。时间复杂度为 \(O(2^{\frac{2}{3}n})\)，可以通过。