并查集

在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。这一类问题近几年来反复出现在信息学的国际国内赛题中，其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受；即使在空间上勉强通过，运行的时间复杂度也极高，根本就不可能在比赛规定的运行时间（1～3秒）内计算出试题需要的结果，只能采用一种全新的抽象的特殊数据结构——并查集来描述。

　　定义：并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。集就是让每个元素构成一个单元素的集合，也就是按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并。

主要操作

　　初始化

　　　　把每个点所在集合初始化为其自身。

　　　　通常来说，这个步骤在每次使用该数据结构时只需要执行一次，无论何种实现方式，时间复杂度均为O(N)。

查找

　　　　查找元素所在的集合，即根节点。

合并

　　　　将两个元素所在的集合合并为一个集合。

　　　　通常来说，合并之前，应先判断两个元素是否属于同一集合，这可用上面的“查找”操作实现。

实例

描述：
　　若某个家族人员过于庞大，要判断两个是否是亲戚，确实还很不容易，给出某个亲戚关系图，求任意给出的两个人是否具有亲戚关系。 
　　规定：x和y是亲戚，y和z是亲戚，那么x和z也是亲戚。如果x,y是亲戚，那么x的亲戚都是y的亲戚，y的亲戚也都是x的亲戚。

Input:
　　第一行：三个整数n,m,p，（n< =5000,m< =5000,p< =5000），分别表示有n个人，m个亲戚关系，询问p对亲戚关系。 
　　以下m行：每行两个数Mi，Mj，1< =Mi，Mj< =N，表示Mi和Mj具有亲戚关系。 
　　接下来p行：每行两个数Pi，Pj，询问Pi和Pj是否具有亲戚关系。

OutPut:
　　P行，每行一个’Yes’或’No’。表示第i个询问的答案为“具有”或“不具有”亲戚关系。

 

方法一：单链表实现

　　一个节点对应一个人，在同一个集合中的节点串成一条链表就得到了单链表的实现。在集合中我们以单链表的第一个节点作为集合的代表元。于是每个节点x（x也是人的编号）应包含这些信息：指向代表元即表首的指针head[x]，指向表尾的指针tail[x]，下一个节点的指针next[x]。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MAXSIZE 1000000


int head[MAXSIZE],tail[MAXSIZE],next[MAXSIZE];//指向代表袁既表首指针，指向表尾指针，下一个节点的指针


//建立单个人的集合 
void SUB_Make_Set(int num)
{
	int i;
	for(i=1;i<=num;i++)
	{
		head[i]=i;
		tail[i]=i;
		next[i]=0;
	}
}

//确认x所在集合的代表元素 
int SUB_Find_Set(int x)
{
	return head[x];
}

//将b所在的集合合并到a所在的集合 
　void SUB_Union(int a,int b)
　{
　　　　next[tail[head[a]]]=head[b];
　　　　tail[head[a]]=tail[head[b]];
　　　　int p = head[b];
　　　　while(p!=0)
　　　　{
　　　　　　head[p]=head[a];
　　　　　　p=next[p];
　　　　}
　}

int main()
{
	
	int n,m,p,i,mi,mj;
	
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
	SUB_Make_Set(n);
	
	printf("请输入%d组亲戚关系：\n",m);
	while(m--)
	{
		scanf("%d%d",&mi,&mj);
		if(SUB_Find_Set(mi)!=SUB_Find_Set(mj))
		{
			SUB_Union(mi,mj);
		}
	}
	
	printf("请输入%d组询问亲戚关系：\n",p);
	while(p--)
	{
		scanf("%d%d",&mi,&mj);
		if(SUB_Find_Set(mi)==SUB_Find_Set(mj))
		{
			printf("Yes\n");
		}
		else
		{
			printf("NO\n");
		}
	}
	
	return 0;
} 

　　

方法二：并查集深林

　　并查集的另一种更快的实现是用有根树来表示集合：每棵树表示一个集合，树中的节点对应一个人。

　　每个节点x包含这些信息：父节点指针p[x]，树的深度rank[x]。其中rank[x]将用于启发式合并过程。

　　还有另一种优化方法（未实现）：路径压缩： 
　　

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

#define MAXSIZE 1000000

int p[MAXSIZE],rank[MAXSIZE];//父节点指针和深度

//初始化节点 
void SUB_Make_Set(int x)
{
	p[x]=x;
	rank[x]=0;
}

//找出x的代表元素，既x树的根节点 （若两个节点的代表元素相同则说明这两个节点属于同一结合中）
int SUB_Find_Set(int x)
{
	if(x==p[x])//遇到根节点返回
	{
		return x;
	}
	else//递归查找
	{
		return SUB_Find_Set(p[x]);
	}
}

//合并a和b树 
void SUB_Union(int a,int b)
{
	int pa,pb;
	//找出a树和b树的根节点 
	pa = SUB_Find_Set(a);
	pb = SUB_Find_Set(b);
	if(rank[pa]>rank[pb])//若a树的层数小于b树的层数，则将a树合并到b树中
	{
		p[pb]=pa;
	}
	else//合作b树合并到a树中
	{
		p[pa]=pb;
		if(rank[pa]==rank[pb])//若两树层次相等，则合并后层次要加1
		{
			rank[pb]++;
		}
	}
	
}
 

int main()
{
	int n,m,p,i,mi,mj;
	
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
	for(i=1;i<=n;i++)//初始化离散的节点
	{
		SUB_Make_Set(i);
	}
	
	printf("请输入%d组亲戚关系：\n",m);
	while(m--)
	{
		scanf("%d%d",&mi,&mj);
		if(SUB_Find_Set(mi)!=SUB_Find_Set(mj))//如果mi和mj还未属于同一集合中时需要进行合并操作
		{
			SUB_Union(mi,mj);
		}
	}
	
	printf("请输入%d组询问亲戚关系：\n",p);
	while(p--)
	{
		scanf("%d%d",&mi,&mj);
		if(SUB_Find_Set(mi)==SUB_Find_Set(mj))
		{
			printf("Yes\n");
		}
		else
		{
			printf("NO\n");
		}
	} 
	
	return 0;
}