[ABC300E] Dice Product 3 题解

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题意简述

给定一个数 \(N\) 和一个整数1 ，当其严格小于 \(N\) 时，每次可能给你的整数乘上一到六中任意一个数，求最后结果为 \(N\) 的数学期望，对 \(998244353\) 取模。

分析

看到期望，显然想到期望Dp，所以开始推式子。令得到值 \(x\) 的期望为 \(f(x)\) ，则一定有 $f(x)=\frac{1}{6}(f(x)+f(2x)+f(3x)+f(4x)+f(5x)+f(6x)) $，

显然这是一个无限递归式，考虑移项化简。最后可以得到这个式子：

\(f(x)=\frac{1}{5}(f(2x)+f(3x)+f(4x)+f(5x)+f(6x))\)

然后这个式子就可以通过 \(DFS\) 搜出来了。然后需要注意的是因为我们的式子里只有 \(\frac{1}{5}\) 这一个分数，所以你可以不用写有理数取模，只需要写一个5的逆元就可以（当然如果你不会的话板子还是有必要学一下的）；记得记忆化。

code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;

const int MOD=998244353,inv_5=598946612;

int n;
unordered_map<int,int> Map;

int dfs(int x)
{
    if(x>=n)    return x==n?1:0;
    if(Map.count(x))  return Map[x];
    int ans=0;
    for(int i=2;i<=6;i++)
            ans=(ans+dfs(x*i))%MOD;
    return Map[x]=ans*inv_5%MOD;
}

signed main()
{
    cin>>n;

    cout<<dfs(1)<<endl;

    return 0;
}