P5011-水の造题

题意

给出 \(a_{1,2, \ldots ,k}\)，\(n\) 个位置，每个位置放 \(p_i\in \{ 1, \ldots ,k \}\)，求 ：

\[\sum_{i=1}^n a_{p_i}+\sum_{i=1}^{n-1}[p_i+1=p_{i+1}](a_{p_i}+a_{p_i+1}) \]

的期望。规定 \(k+1=1\)。

\(n\le 10^{10^6},k\le 10^6\)

思路

先考虑求和的期望。由于期望的线性性，每个 \(a_i\) 在里面出现的期望是 \(\frac{n}{k}\)，所以前项的期望和是 \(\frac{n}{k}\sum a_i\)。

考虑后面的那个，在一个位置出现连续的编号的概率是 \(\frac{1}{k^2}\)，所以有 \(n-1\) 个贡献，那么期望就是 \(\frac{2(n-1)}{k^2}\sum a_i\)。