CF662C-Binary-Table

题意

\(n\times m\) 的 \(01\) 数组，可以任意翻转多次行与列，求最少的 \(1\) 数。

\(n\le 20,m\le 10^5\)

思路

我们发现，如果直接枚举行与列是不行的，但是 \(n\le 20\) 又提示我们可以枚举行的翻转情况然后考虑列如何翻转。考虑一个列的状态如果是 \(s\)，行的翻转是 \(x\)，那么新的行状态就是 \(s \oplus x\)（异或）。那么，我们维护一下 \(s\) 的出现次数 \(a\)，\(b_x\) 表示 \(x\) 中 \(0\) 与 \(1\) 出现最少的个数，则答案为

\[\sum_{i=0}^{2^n-1} a_s b_{s\oplus x} \]

那么，如果我们考虑枚举 \(x\)，则上式变成了

\[f_x=\sum_{j\oplus k=x}a_jb_k \]

变成了标准的 fwt 形式，时间复杂度 \(\mathcal{O}(n2^n)\)。