P5103-JOI-2016-Final-断层-Geologic-Fault

题意

平面直角坐标系，只考虑第三象限的点。\(Q\) 次操作以下之一：

• 将过 \((X_i,0)\) 的一条斜率为 \(1\) 的点的上方所有点平移到 \((x+L_i,y+L_i)\)
• 将过 \((X_i,0)\) 的一条斜率为 \(-1\) 的点的上方所有点平移到 \((x-L_i,y+L_i)\)

求最后 \(y\) 轴上 \(\{ \big((x-1,0),(x,0)\big)|x\in 1,2, \ldots ,n \}\) 的点一开始是第几层的。

\(n,Q\le 2\times 10^5,-10^9\le w_i\le 10^9,1\le l_i\le 10^9\)

思路

正着做不太好维护，考虑时光倒流，上升变成下降。那么从关心所有的点我们就转变成了只需要求最后所有的 \(0\) 的点的位置即可。

对于这种斜率为正负 \(1\) 的直线，且横纵坐标都会发生变化比较难搞。我们考虑旋转 \(45\degree\)，新的点会变成 \((x-y,x+y)=(a,b)\)。那么我们考虑两个操作，变成了：

• \(y-x> X_i\implies a< X_i\)，操作为 \(b\to b-2L_i\)。
• \(x+y>X_i\implies b>X_i\)，操作为 \(a\to a+2L_i\)。

然后我们考虑要求的 \((x-1,x)\)，不妨将其设为 \(x\) 点，那么只需要将前一个操作改为能取等即可。

之后考虑我们要求的 $(i,i)。我们会发现，减法改的是 \(b\) 的前缀，加法改的是 \(a\) 的后缀。所以都是满足单调性的，于是直接线段树二分即可做到 \(\mathcal{O}(q\log n)\)。