P6620 [省选联考 2020 A 卷] 组合数问题

题意

\[\left(\sum_{k=0}^{n}f(k)\times x^k\times \binom{n}{k}\right)\bmod p \]

\(f(k)\) 为给定的一个 \(m\) 次多项式。

\(n,x,p\le 10^9,m\le 1000\)

思路

对于下降幂有性质：

\[\binom{n}{k}k^{\underline{m}}=\binom{n-m}{k-m}n^{\underline{m}} \]

证明：

\[\binom{n}{k}k^{\underline{m}}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{k!}{(k-m)!} \]

\[=\frac{n!}{(n-k)!(k-m)!} \]

\[=\frac{n!(n-m)!}{(n-k)!(k-m)!(n-m)!} \]

\[=\frac{(n-m)!}{(n-m-(k-m))!(k-m)!}\frac{n!}{(n-m)!} \]

\[=\binom{n-m}{k-m}n^{\underline{m}} \]

那么考虑将题目所给多项式 \(f(k)=\sum_i a_ix^i\) 先转成下降幂形式的 \(f(k)=\sum_{i=0}^m b_ik^{\underline{i}}\)。

\[\sum_{k=0}^{n}\sum_{i=0}^mb_ik^{\underline{i}}\times x^k\times \binom{n}{k} \]

\[=\sum_{i=0}^mb_in^{\underline{i}}\sum_{k=0}^n\binom{n-i}{k-i}x^k \]

\[=\sum_{i=0}^mb_in^{\underline{i}}x^i\sum_{k=0}^{n-i}\binom{n-i}{k}x^k \]

\[=\sum_{i=0}^mb_in^{\underline{i}}x^i(x+1)^{n-i} \]

又因为

\[x^n=\sum_{i=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ i \\\end{Bmatrix}x^{\underline{i}} \]

带入得

\[\sum_{i=0}^ma_ix^i=\sum_{i=0}^m\sum_{j=0}^i a_i\begin{Bmatrix} i \\ j \\\end{Bmatrix}x^{\underline{j}} \]

\[=\sum_{j=0}^m\left(\sum_{i=j}^ma_i\begin{Bmatrix} i \\ j \\\end{Bmatrix}\right)x^{\underline{j}} \]

即

\[b_i=\sum_{j=i}^ma_j\begin{Bmatrix} j \\ i \\\end{Bmatrix} \]