斯特林数

第一类斯特林数：\(n\) 个元素放到 \(m\) 个环，有推导：

\[ \begin{bmatrix}n\\m\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1\\m-1\\\end{bmatrix}+(n-1)\begin{bmatrix}n-1\\m\\\end{bmatrix} \]

边界为：

\[\begin{bmatrix}n\\0\\\end{bmatrix}=[n=0] \]

有性质:

\[n! =\sum_{i=0}^n\begin{bmatrix}n\\i\\\end{bmatrix} \]

第二类：放到 \(m\) 个集合：

\[\begin{Bmatrix}n\\m\\\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\m-1\\\end{Bmatrix}+m\begin{Bmatrix}n-1\\m\\\end{Bmatrix} \]

可以根据组合意义写出。

上升幂与下降幂

记上升幂 \(x^{\overline{n}}=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k)\)，有

\[x^{\overline{n}}=\sum_k \begin{bmatrix}n\\k\\\end{bmatrix}x^k \]

这里是对于 \(f\) 的生成函数，\(F_n(x)=\sum_{i=0}^n \begin{bmatrix}n\\i\\\end{bmatrix}x^i\)，那么对于推导公式，则有：

\[F_n(x)=xF_{n-1}(x)+(n-1)F_{n-1}(x) \]

则从 \(F_0(x)=1\) 开始累乘即可得到上述公式。

\[x^n=\sum_k \begin{Bmatrix}n\\k\\\end{Bmatrix}(-1)^{n-k}x^{\overline{k}} \]

记下降幂 \(x^{\underline{n}}=\frac{x!}{(x-n)!}=\prod_{k=0}^{n-1}(x-k)\)，有：

\[x^n=\sum_k \begin{Bmatrix}n\\k\\\end{Bmatrix}x^{\underline{k}} \]

\[x^{\underline{n}}=\sum_k \begin{bmatrix} n\\k\\\end{bmatrix}(-1)^{n-k}x^k \]

下降幂和上升幂有:

\[(-x)^{\underline{n}}=(-1)^nx^{\overline{n}} \]

\[(-x)^{\overline{n}}=(-1)^nx^{\underline{n}} \]

与二项式反演

\[g_i=\sum_{j=i}^n\binom{j}{i}f_i\Rightarrow f_i=\sum_{j=i}^n\binom{j}{i}(-1)^{j-i}g_j \]

\[g_i=\sum_{j=i}^n\begin{bmatrix}j\\i\\\end{bmatrix}f_i\Rightarrow f_i=\sum_{j=i}^n\begin{bmatrix}j\\i\\\end{bmatrix}(-1)^{j-i}g_j \]

\[g_i=\sum_{j=i}^n\begin{Bmatrix}j\\i\\\end{Bmatrix}f_i\Rightarrow f_i=\sum_{j=i}^n\begin{Bmatrix}j\\i\\\end{Bmatrix}(-1)^{j-i}g_j \]

\[\sum_{i\ge 0}\begin{bmatrix}n\\i\\\end{bmatrix}(-1)^{n-i}\begin{Bmatrix}i\\j\\\end{Bmatrix}=[n=j] \]