数论学习之扩展欧几里德

扩展欧几里德

1.定义：

扩展欧几里德定理

　　对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

2.c语言实现

#include <stdio.h>

int q,x, y;

void swap ( int *x1, int *y1)
{
    int temp;
    temp = *x1;
    *x1 = *y1;
    *y1 = temp;
}
    
void fun( int a, int b)
{
    if (b == 0 ) {
        x = 1;
        y = 0;
        q = a;
    }
    else {
        fun ( b, a % b);
        int temp = x;
        x = y;
        y = temp -( a / b ) * y;
    }
}

int main( )
{
    int a, b;
    while (scanf("%d%d", &a, &b), a || b ) {
    if ( a < b )
        swap(&a , &b);
    fun(a, b);
    printf("%d = %d *  %d  +  %d  * %d \n",q,a,x,b,y);
    }
    return 0;
}

3.应用求一元线性同余方程

#include <stdio.h>
int x, y,q;
int a1, b1, c;

void swap(int &x1, int &x2)
{
    int temp;
    temp = x1;
    x1 = x2;
    x2 = temp;
}

void fun( int a, int b)
{
    if ( b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        q = a;
    }
    else
    {
        fun (b,a % b);
        int temp = x;
        x = y;
        y = temp -( a / b) * y;
    }
}

int gcd ( int n, int m)
{
    return m ? gcd(m, n % m ) : n;
}

void exp( )
{  
   int x1, i;
   x1 = gcd(a1 ,c );
   if (b1 %  x1 != 0)
    return;
    //求解ax = b (mod c)  ax +cy = b;
   a1 =a1 / x1;
   b1 =b1 / x1;
   c = c / x1;
   if ( a1 < c)
    swap(a1, c);
   fun(a1, c);
   for ( i = 0; i < 10; i++) {
       printf("x = %d\n", b1 * x + c * i);
       printf("y = %d\n", b1 * y - a1 * i);
       puts("");
   }
      
}
      
int main( )
{
    //求解ax = b (mod c)  ax +cy = b;
    while (scanf("%d%d%d",&a1, &b1,&c) != EOF ) {
       // if ( a1 < b1)
         // swap(a1, b1);
        //    fun(a1,b1);
            exp( );
        //    puts("");
            printf("%d= %d * %d+ %d * %d\n",q,a1, x,c, y );
    }
    return 0;
}

求a * x + b * y = n的整数解。

　　1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a' * x + b' * y = n'，此时Gcd(a',b')=1;

    2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解；

　　3、根据数论中的相关定理，可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为：

        x = n' * x0 + b' * t
        y = n' * y0 - a' * t