DP知识点总结2 子序列类线性DP（实时更新）

一、万恶之源——最长上升子序列

https://www.acwing.com/problem/content/1019/

1.经典DP解法

设置f数组，以子序列的最后一个数i划分DP区间，求得最优解。注意最后要for循环扫一下。

代码略

2.二分查找

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstdio>
 5 using namespace std;
 6 int t;
 7 const int maxn=105;
 8 int w[maxn];
 9 int f[maxn];
10 int main(){
11     
12     scanf("%d",&t);
13     while(t--){
14         memset(w,0,sizeof(w));
15         memset(f,0,sizeof(f));
16         int n;
17         scanf("%d",&n);
18         for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
19         f[1]=w[1];
20         int cnt=1;
21         for(int i=2;i<=n;i++){
22             if(w[i]<f[cnt]) f[++cnt]=w[i];
23             else{
24                 int pos=lower_bound(f+1,f+cnt+1,w[i],greater<int>())-f;
25                 f[pos]=w[i];
26             }
27         }
28         int cnt1=cnt;
29         reverse(w+1,w+n+1);
30         memset(f,0,sizeof(f));
31         f[1]=w[1];
32         cnt=1;
33         for(int i=2;i<=n;i++){
34             if(w[i]<f[cnt]) f[++cnt]=w[i];
35             else{
36                 int pos=lower_bound(f+1,f+cnt+1,w[i],greater<int>())-f;
37                 f[pos]=w[i];
38             }
39         }
40         cnt=max(cnt,cnt1);
41         printf("%d\n",cnt);
42     }
43     
44     
45     
46     return 0;
47     
48 }

二、各类变体

1.排列数的最长公共子序列

https://www.luogu.com.cn/problem/P1439

因为是排列数，所以可以将之转化为求最长上升子序列问题，从而将复杂度降低至O(nlogn)

2.朴素最长公共子序列

参考进阶指南P264.通常对于这样的题目及其变体，f 数组应开为 f [ i , j ]

3.最长公共上升子序列

 https://www.acwing.com/problem/content/274/

首先分析状态表示，其实这个相当于最长上升子序列和最长公共子序列的结合，对于最长上升子序列，f[i][j]表示是前i位，且最后一位是j的上升子序列，因为上升需要比较。

而最长公共子序列中f[i][j]表示的是前第一个序列的前i位，第二个序列的前j位组成的最长公共子序列

那么本题f[i][j]表示的就是第一个序列前i位，第二个序列前j位，且结尾是第二个序列第j位的最长公共上升子序列

本题的一个重要思想是，通常状态计算的过程中，是看最后一个位置，但这道题最后一个位置j是给定的，那么就看倒数第二个位置，以其进行划分。

第二个难点是要简化时间复杂度还需要对代码进行一个等价变形

4.双上升子序列划分

https://www.luogu.com.cn/problem/P1410

5.双子序列最大和

https://www.luogu.com.cn/problem/P2642

6.dilworth定理

https://blog.csdn.net/numb_ac/article/details/103396897

posted @ 2021-04-30 12:20  _rhinoceros  阅读(101)  评论(0)    收藏  举报