猴子摘桃

2016-08-31 17:05:25

问题描述：

　　一只猴子摘桃子，摘累了，决定休息一下再分桃子。过了一会，来了一只猴子，把所有桃子均分成了5份，结果多了1个，就把多出的吃了，然后拿走了其中的一份；过了一会，又来了一只猴子，它并不知道前面已经有猴子来过了，也把所有桃子均分成了5分，结果多了1个，就把多出的吃了，然后拿走了其中的一份；后面的第3、4、5只猴子也是同样的道理，分5份，吃一个，拿走一份。问这堆桃子最初总共至少有几个？最后又会剩几个？

问题解析：

　　第一只：5A₁ + 1；

　　第二只：5A₂ + 1 = 4A₁；

　　第三只：5A₃ + 1 = 4A₂；

　　第四只：5A₄ + 1 = 4A₃；

　　第五只：5A₅ + 1 = 4A₄；

　　最后剩余桃子数量：4A₅。

解法分析：

　　如果直接计算A₁——A₅，势必使计算非常复杂。

　　A₅ = (4A₄ - 1) / 5

　　　  = (4(4A₃ - 1) / 5-1) / 5 = (16A₃-9) / 25

           = (16(4A₂ - 1) / 5-9)/25 = (64A₂-61) / 125

           = (64(4A₁ - 1) / 5-61) / 125 = (256A₁-369) / 625

           >= 1；

var m = 0;
var arr_k = new Array();
for (var k = 1; k < 10000; k++)
{
    if ((5*k+1) % 4 == 0 && (25*k+9) % 16 == 0 && (125*k+61) % 64 == 0 && (625*k+369) % 256 == 0)
    {
        arr_k[arr_k.length] = k;
        m++;
    }
}

　　仔细观察，可以发现如下关系：

　　5(A₂ + 1) = 4(A₁ + 1);

　　5(A₃ + 1) = 4(A₂ + 1);

　　5(A₄ + 1) = 4(A₃ + 1);

　　5(A₅ + 1) = 4(A₄ + 1);

　　=> A₅ + 1 = 4(A₄ + 1)/5 = ... = 4⁴(A₁ + 1)/5⁴

　　=> A₁最小为5⁴ - 1 = 624，此时A₅ = 255

　　=> 桃子最初至少有3121个，最后剩1020个。

var m = 0;
var arr_k = new Array();
arr_k[arr_k.length] = Math.pow(4, 4) - 1;
m++;

结果相关：

　　等比数列：又称几何数列。是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。