ZORICH MATHEMATICAL ANALYSIS

ZORICH数学分析

CHAPTER 1 一些通用的数学概念与记号

§1.逻辑符号

1.关系与括号

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\[\begin{aligned} &L\implies P \newline &\text {表示 L蕴含P} \end{aligned} \]

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\[\begin{aligned} L\iff P \newline\text {表示 L与P等价} \end{aligned} \]

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\[\begin{aligned} &((L\implies P)\land(\neg P))\implies (\neg L) \newline &\text {表示 若P由L推出，而P不真，则L不真} \end{aligned} \]

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\[\begin{aligned} &\neg（（L\iff G)\lor( P\iff G)) \newline &\text {表示 G既不等价于L，也不等价于P} \end{aligned} \]

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注意到，由简单命题构成复杂命题时，使用了括号，正像写代数式一样，它们起着有关结构层次的作用。同代数一样，为了节省括号，必须约定”运算次序“，为此，对符号规定如下优先次序：

\[\neg，\land，\lor，\implies，\iff \]

这样约定下，式子\(\neg A\land B\lor C\implies D\)应解释为\((((\neg A)\land B)\lor C)\implies D\)而不是\(A\lor (B\implies C)\)

对于表示\(A\)蕴含\(B\)或\(B\)由\(A\)推出的写法\(A\implies B\)我们常常赋予它另一种文字解释：\(B\)是\(A\)的必要特征或必要条件，同样有\(A\)是\(B\)的充分条件或充分特征，于是关系

\[A\iff B \]

可用下面任一种方法去解释：

​ 对于\(B,A\)既是必要的又是充分的；

​ \(B\)成立当且仅当\(A\)成立；

​ 若且仅若\(B\)成立，有\(A\)成立；

​ \(A\)与\(B\)等价

​ 因此，写法

\[A\iff B \]

​ 表示\(A\)蕴含\(B\),同时\(B\)蕴含\(A\).

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​ 然而应当注意的是：在式子\(A\lor B\)中的连接词“或”，不是区分连接词，也就是说只要命题A，B中有一个为真，\(A\lor B\)就正确。例如，设x是使\(x^2-3x+2=0\)的实数，这时可以说下列关系成立：

\[(x^2+3x+2=0)\iff (x=1)\lor (x=2) \]

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2.某些专门的记号

约定，当方便时，用专门的记号\(:=\)（根据定义等于）引进定义，其中两点放在被定义对象一边。

例如

\[\int_{a}^b \operatorname{f}(x)dx:=\lim_{\lambda(p)\to0}\sigma(f,P,\xi) \]

是用右端定义左端，而右端的含义认为是已知的

​ 类似的，对于已有定义的式子，也用这个记号引进简缩记法。例如

\[\sum_{i=1}^n\operatorname{f}(\xi_i)\Delta x_i=:\sigma(f,P,\xi) \]

是用记号\(\sigma(f,P,\xi)\)表示左端的专门的和式

§2.集与集的初等运算

1.集合的概念

“所谓集合，是我们直观感到或意识到的，由确定的，彼此不同的对象结合在一起的联合体。”

集合论的奠基人Cantor就是这样描述集合概念的。

​ Cantor的描述，当然不能叫做定义，因为他是向比集合概念更复杂的概念求援。这种描述的目的是把这个概念与其他概念联系起来进行阐明。

​ Cantor的（或叫做“朴素的”）集合论的基本前提可归结为：

​ 1°集合可由任意不同事物组成；

​ 2° 集合由构成它的事物集聚而唯一确定；

​ 3°任何性质确定具有该性质的事物的集合。

​ 若x是一事物，\(P\)是一性质，\(P(x)\)表示\(x\)有性质\(P\)。用\(\{ {x|P(x)}\}\)表示具有性质P的一切事物的类。

​ 组成类或集合的事物，叫做类或集合的元素。

​ “类”，“族”，“集合”，“组”等字，在朴素集合论中作“集合”的同义词来使用。

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**Russell悖论

​ ”一切集合的集合 “这个概念，会产生矛盾。

​ \(PROOF\)：设\(M\)为一集合，用\(P(M)\)表示\(M\)不以自己作为元素的集合的一种性质。

考察具有性质\(P\)的集合的类\(K=\{M|P(M)\}\)

​ 如果\(K\)是集合，那么，或者\(P(K)\)为真，或者\(\neg P(K)\)为真。然而，，二者择一对于K是不可能的。实际上\(P(K)\)不成立，因为由\(K\)的定义推知\(K\)包含着\(K\),即；\(\neg P(K)\),\(\neg P(K)\)也不可能真。因为这就表示\(K\)包含着\(K\)，而这与\(K\)的定义：它是不含自身的集相矛盾。

​ 因此，\(K\)不是集合。

​ \(Q.E.D.\)

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2.包含关系

​ 命题“\(x\)是集合\(X\)的元素”用符号简单记作

\[x\in X(或X\ni x), \]

它的否命题用符号

\[x\notin X(或X\not \ni x), \]

来记。

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​ 在书写有关集合的命题时经常用逻辑运算\(\exists\)（“存在”或“找到”）与\(\forall\)（”任何的“或“对于任何的”，分别称之为存在量词与全称量词。

​ 例如写法\(\forall x((x\in A)\iff(x\in B))\)表示的是，对于任何事物\(x\)，关系\(x∈ A\)与\(x∈ B\)是等价的。因为一个集合完全被它的元素所确定，所以，上述命题可以简记为

\[A=B \]

读作“\(A\)等于\(B\)”，它表示集合\(A\)与集合\(B\)完全一致

​ 这样，当二集合由同样的元素构成时，它们相等

​ 否定相等就写成\(A\not=B\)

若集合A的任何元素都是集合B的元素，就记作\(A\subset B 或B\supset A\)

并说集合A是集合B的子集，或者说\(B\)包含\(A\)，或者说\(B\)含有\(A\)，这种关系就叫做包含关系

​ 于是

\[（A\subset B):=\forall x((x\in A)\implies(x\in B)) \]

如果\(A\subset B ，A\not=B,\)就说包含关系是严格的.或者说A是B的真子集

​ 利用所引进的定义可TUI之：

\[（A=B)\iff(A\subset B)\land(B\subset A) \]

​ 如果M是集合，P是任一性质，那么就能从M中分出一个子集

\[{\{x\in M|P(x)\}} \]

ta是由M中具有这一性质的一切元素组成的子集

​ 例如，显然有

\[M=\{x\in M|x\in M\} \]

另一方面，若P是M中任何元素都不具有的性质，比如说

\[P(x):=(x\not=x) \]

​ 则我们得到集合

\[\varnothing=\{x\in M|x\not=x\} \]

​ ta叫做M的空子集。

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3.最简单的集合运算

设\(A\)与\(B\)都是集合M的子集。

a.并集

集合

\[A\bigcup B:=\{x\in M|(x\in A)\bigvee( x\in B)\} \]

由M中那些元素组成，它至少属于\(A\),\(B\)中之一，称此集为A,B的并.

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b.交集

集合

\[A\bigcap B:=\{x\in M|(x\in A)\bigwedge(x\in B)\} \]

由M中那些元素组成，它同时属于\(A\)和\(B\)称此集为\(A\)，\(B\)的交。

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c.差集

集合

\[A\setminus B:=\{x\in M\mid（x\in A)\bigwedge(x\notin B)\} \]

由M中那些元素组成，它属于\(A\)但不属于\(B\),称此集为\(A\),\(B\)的差.

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d.补集

集M与M的子集\(A\)之差通常叫做\(A\)在M中的补集，记作

\[C_M A \]

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e.De.Morgan规则

\[\begin{aligned} & C_M(A\bigcup B)=C_MA\bigcap C_MB\\ & C_M(A\bigcap B)=C_MA\bigcup C_MB \end{aligned} \]

例如证明第一个等式：

\(PROOF\):

\[\begin{aligned} (x\in C_M(A\bigcup B)) &\implies(x\notin A\bigcup B))\\ & \implies((x\notin A)\bigwedge(x\notin B))\\ & \implies(x\in C_MA)\bigwedge(x\in C_MB)\\ &\implies( x\in( C_MA\bigcup C_MB)) \end{aligned} \]

因此，得证

\[C_M(A\bigcup B)\subset (C_MA\bigcap C_MB) \]

l另一方面，

\[\begin{aligned} ( x\in( C_MA\bigcup C_MB)） &\implies(x\in C_MA)\bigwedge(x\in C_MB)\\ &\implies((x\notin A)\bigwedge(x\notin B))\\ &\implies(x\notin A\bigcup B))\\ &\implies(x\in C_M(A\bigcup B)) \end{aligned} \]

即

\[C_M(A\bigcup B)\supset (C_MA\bigcap C_MB) \]

由二者即得第一个等式

​ \(Q.E.D.\)

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f.集合的直积(Descartes积)

对于任意两个集合\(A,B,\)可构出新集合一一对\(\{A,B\}=\{B,A\}\),ta的元素只有A和B。如若\(A≠B\)，它有2个元素，当\(A=B\)，它只有一个元素。所说的这个集合叫做A,B的无序对，以区别与序对\(（A,B)\)。在序对\(（A,B）\)中，元素\(A,B\)被赋予一种附加的特征，根据它分辨出\(A\)是对\(\{A,B\}\)的第一个元素，而\(B\)是第二个元素。按定义，序对等式\(（A,B)=(C,D)\)表示\(A=B,C=D\),特别地，若\(A≠B\),那么\(（A,B)≠（B,A)\)

​ 现设\(X,Y\)是任意两个集

​ 按定义，由一切序对\(（x，y）\)（其中第一项是X中的元素，而第二项是Y中的元素）所构成的集合

\[X\times Y:=\{(x,y)\mid (x\in X)\bigwedge(y\in Y)\} \]

叫做集合\(X,Y\)（按这样的次序）的直积或Descartes积

​ 一般来说，\(X \times Y≠Y \times X\),只有当\(X=Y\)时才成立，这是我们把\(X \times X\)缩写成\(X^2\)

平面Descartes坐标系恰好把平面变成两个数轴的直积。Descartes积与它的因子的次序有关这一点在这个熟知的情形是非常显然的，例如序对\((1,0)\)与\((0,1)\)对应于平面两个不同的点

设序对\(z=(x_1,x_2)\)是集合\(X_1,X_2\)的直积\(X_1\times X_2\)中的元素，\(x_1\)叫做序对z的第一射影，记作\(pr_1z\);而x_2叫做序对z的第二射影，记作\(pr_2z\)

类似于解析几何术语，时常把序对的射影叫做（第一、第二）坐标