算法的时间复杂度

算法的概念

算法(Algorithm)是解决特定问题的过程的描述，算法不仅存在于计算机领域，生活的方方面面都存在算法，比如炒菜的食谱，建筑的工程设计等等都叫做算法。

算法的五大特征：

»有穷性

»确切性

»输入项

»输出项

»可行性

有穷性是指算法的步骤必须是有限的，具体到代码层面就是必须是可以结束的。

确切性是指没一个步骤必须是明确的，不能是模棱两可不可执行的。

算法可以有0个或多个输入，但必须有输出，没有输出的算法毫无意义。

可行性是指算法每一步必须是在现阶段条件下可以实现的。

 

算法的时间复杂度

解决一个问题有很多种算法，但各种算法所消耗的时间和空间差异不尽相同，我们要选择效率更高，消耗资源更少的算法，而在计算机中，Cpu是稀缺资源往往比内存更加宝贵，所以一般我们只关注算法对Cpu的占用，也就是算法的时间复杂度。

 

时间频度 

一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

 

时间复杂度 

前面提到的时间频度T(n)中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律，为此我们引入时间复杂度的概念。一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数，记作T(n)=O(f(n))，它称为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

大O表示法

像前面用O( )来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O表示法。 
算法复杂度可以从最理想情况、平均情况和最坏情况三个角度来评估，由于平均情况大多和最坏情况持平，而且评估最坏情况也可以避免后顾之忧，因此一般情况下，我们设计算法时都要直接估算最坏情况的复杂度。 
大O表示法O(f(n)中的f(n)的值可以为1、n、logn、n²等，因此我们可以将O(1)、O(n)、O(logn)、O(n²)分别可以称为常数阶、线性阶、对数阶和平方阶，那么如何推导出f(n)的值呢？我们接着来看推导大O阶的方法。

推导大O阶 
推导大O阶，我们可以按照如下的规则来进行推导，得到的结果就是大O表示法： 

1.用常数1来取代运行时间中所有加法常数。 
2.修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 
3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

 

计算算法时间复杂度的例子：

常数阶：

  int sum = 0,n = 100; //执行一次  
  sum = (1+n)*n/2; //执行一次  
  System.out.println (sum); //执行一次 

上面算法的运行的次数的函数为f(n)=3，根据推导大O阶的规则1，我们需要将常数3改为1，则这个算法的时间复杂度为O(1)。如果sum = （1+n）*n/2这条语句再执行10遍，因为这与问题大小n的值并没有关系，所以这个算法的时间复杂度仍旧是O(1)，我们可以称之为常数阶。

 

线性阶 
线性阶主要要分析循环结构的运行情况，如下所示。

for(int i=0;i<n;i++){
//时间复杂度为O(1)的算法
...
}

上面算法循环体中的代码执行了n次，因此时间复杂度为O(n)。

 

对数阶 

int number=1;
while(number<n){
number=number*2;
//时间复杂度为O(1)的算法
...
}

可以看出上面的代码，随着number每次乘以2后，都会越来越接近n，当number不小于n时就会退出循环。假设循环的次数为X，则由2^x=n得出x=log₂n，因此得出这个算法的时间复杂度为O(logn)。

 

平方阶 
下面的代码是循环嵌套：

  for(int i=0;i<n;i++){   
      for(int j=0;j<n;j++){
         //复杂度为O(1)的算法
         ... 
      }
  }

内层循环的时间复杂度在讲到线性阶时就已经得知是O(n)，现在经过外层循环n次，那么这段算法的时间复杂度则为O(n²)。 

接下来我们来算一下下面算法的时间复杂度：

  for(int i=0;i<n;i++){   
      for(int j=i;j<n;j++){
         //复杂度为O(1)的算法
         ... 
      }
  }

内层循环的执行频度为：

n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+1 
=(n+1)n/2 
=n(n+1)/2 
=n²/2+n/2

根据此前讲过的推导大O阶的规则的第二条：只保留最高阶，因此保留n²/2。根据第三条去掉和这个项的常数，则去掉1/2,最终这段代码的时间复杂度为O(n²)。

其他常见复杂度

除了常数阶、线性阶、平方阶、对数阶，还有如下时间复杂度： 
f(n)=nlogn时，时间复杂度为O(nlogn)，可以称为nlogn阶。 
f(n)=n³时，时间复杂度为O(n³)，可以称为立方阶。 
f(n)=2ⁿ时，时间复杂度为O(2ⁿ)，可以称为指数阶。 
f(n)=n!时，时间复杂度为O(n!)，可以称为阶乘阶。 
f(n)=(√n时，时间复杂度为O(√n)，可以称为平方根阶。

 

各时间复杂度随问题规模增长的变化率趋势：

绘图代码：

"""
@Author TZG
@Email 1651504722@qq.com
"""

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from numpy.lib.scimath import logn
import matplotlib as mpl
from functools import reduce

#防止中文乱码问题
mpl.rcParams['font.sans-serif']=[u'SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus']=False

# 确定坐标轴
plt.xlim((0, 100))
plt.ylim((0, 100))
#设置坐标轴名称
plt.xlabel('输入规模')
plt.ylabel('时间')

# 产生等差数列
x = np.linspace(1, 101, 100)


# n
def f1(x):
    y = x
    return y

# n2
def f2(x):
    y = x*x
    return y

# 2n
def f3(x):
    y = 2**x
    return y


# n!
def f4(nd):
    r = []
    for n in nd.tolist():
        r.append(reduce(lambda x,y:x*y,range(1,int(n+1))))
    return np.array(r)

plt.plot(x, logn(2,x), 'r-', linewidth=1, label='lgn')
plt.plot(x, f1(x), 'g-', linewidth=1, label="n")
plt.plot(x, x*logn(2,x), 'c-', linewidth=1, label="nlgn")
plt.plot(x, f2(x), 'm-', linewidth=1, label="n^2")
plt.plot(x, f3(x), 'y-', linewidth=1, label="2^n")
plt.plot(x, f4(x), 'k-', linewidth=1, label="n!")

# 在图上添加文字注释
# plt.text(10,20,'f(x)',size=13)
# plt.text(20,logn(2,[20]),'lgx',size=13)

# 将标记绘制图例
plt.legend(['lgn', 'n','nlgn','n^2','2^n','n!'], loc='upper left')
plt.show()

 

其中x轴代表n值，y轴代表T(n)值（时间复杂度）。T(n)值随着n的值的变化而变化，其中可以看出O(n!)和O(2ⁿ)随着n值的增大，它们的T(n)值上升幅度非常大，而O(logn)、O(n)、O(nlogn)随着n值的增大，T(n)值上升幅度则很小。 
常用的时间复杂度按照耗费的时间从小到大依次是：

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<O(n!)

参考连接：

https://baike.baidu.com/item/%E6%97%B6%E9%97%B4%E5%A4%8D%E6%9D%82%E5%BA%A6/1894057?fr=aladdin

https://blog.csdn.net/itachi85/article/details/54882603