两两 gcd 互异的最大子集大小的上下界分析

给定正整数 \(m\)，考虑集合 \(\{1, 2 \cdots ,m\}\) 的子集 \(A\)，满足对于任意两个不同的无序对 \(\{a, b\} \neq \{c, d\}\)，都有 \(\gcd(a, b) \neq \gcd(c, d)\)。记 \(A\) 的最大大小为 \(F(m)\)。

从一些简单的构造入手

一个直观的想法是取质数来保证 \(\gcd\)。我们取前 \(n\) 个质数的序列。记 \(P = \prod_{i = 1}^n p_i\)，可以构造：

\[a_i = \frac{P}{p_i}, a_n = P \]

此时:

\[\gcd(a_i, a_j)= \gcd(\frac{P}{p_i},\frac{P}{p_j}) = \frac{P}{p_ip_j} \]

显然不同。

此时由素数定理可以得出：

\[F(m) \ge (1 + o(1))\frac{\log m}{\log\log m} \]

还能做到比这个更优吗？

链式构造

如果我们只用 \(2\) 的幂，那么两个数 \(\gcd(2^i, 2^j) = 2^{\min(i, j)}\)。如此对于两对 \(\gcd(2^1, 2^2)\) 和 \(\gcd(2^1, 2^3)\)，其 \(\gcd\) 均为 \(2^1\)。

所以一个底的信息不够，我们引入第二个素数 \(3\)。

把每个数写为 \(2^a3^b\)，这样两个数：

\[\gcd(2^a3^b, 2^c3^d) = 2^{\min(a, c)}3^{\min(b, d)} \]

一个很自然的想法是我们钦定上面的式子答案等于 \(2^a3^d\)，也就是让 \(2^a3^b\) 贡献 \(2\) 上的指数，\(2^c3^d\) 贡献 \(3\) 上的指数。

有一个显然的构造是 \(2^i3^{n - i}\) 次方，满足如上条件。

这样我们把下界做到了：

\[F(m) \ge \Omega(\log m) \]

那上界呢

要求任意两个不同元素的 \(\gcd\) 均不同，我们取出一个元素 \(a_1\)，设剩余 \(n - 1\) 个数跟其的 \(\gcd\) 分别为 \(d_2, d_3 \cdots d_n\)。则 \(d_i\) 两两不同。

同时 \(d_i \mid a_1\)，这相当于要求 \(a_1\) 至少有 \(n - 1\) 个因数。

我们给出了一个上界：

\[F(m) \le 1 + \max_{x \le m} \tau(x) \]

其中 \(\tau(x)\) 是 \(x\) 的约数个数。

这个问题 \(\rm Wigert\) 给出了一个上界：

\[F(m) \le \exp((\log 2+o(1)\frac{\log m}{\log \log m}) \]

对原问题做一些转化

上界告诉我们，每个元素至多能贡献 \(\tau(m)\) 个不同的 \(\gcd\)，因此总数受限于最大因子数。
那么一个自然的问题是：能不能构造一个集合，使得每个元素的因子都被充分利用？

将每个整数 \(a\) 写成它的素因子集合：

\[S(a) = \{p : p \mid a\} \]

那么 \(S(\gcd(a, b)) = S(a) \cap S(b)\)

这样问题就变为了：

找一个尽可能大的集合族 \(\mathcal F \subseteq 2^{[d]}\)，使得任意两个不同集合的交不同。

随机构造！

取前 \(d\) 个质数 \(p_1 < p_2 < \cdots < p_d\)。对于 \(S \subseteq [d]\)，定义 \(A(S) = \prod_{t \in S}p_t\)。

对于每个 \(i = 1, 2, \cdots N\)，令 \(S_i \subseteq [d]\) 随机生成。这 \(d\) 个质数独立以 \(p\) 的概率属于 \(S_i\)。

这能对？

我们将不合法的集合 \(S\) 分为两类：

1. \(E_{i, j, k} : S_i \cap S_j = S_i \cap S_k\)。
2. \(E_{i, j, k, l} : S_i \cap S_j = S_k \cap S_l\)

考虑分析这两类的概率。

第一类

考虑一个位置重叠的概率，记：

\[X_i, X_j, X_k \sim \rm Bernoulli(p) \]

我们要求 \(X_iX_j = X_iX_k\)。

若 \(X_i = 0\)，则成立，否则需要 \(X_j = X_k\)。故成功概率为 \(q_1 = (1 - p) + p(p^2 + (1 - p)^2)\)。而不同位置独立，故：

\[E_{i, j, k} = ((1 - p) + p(p^2 + (1-p)^2)^d \]

第二类

同上定义，要求 \(X_iX_j = X_kX_l\)，则 \(q_2 = p^4 + (1 - p^2)^2\)，有：

\[E_{i, j, k, l} = (p^4 + (1 - p^2)^2)^d \]

第一类事件有 \(3{N \choose 3}\) 种，第二类有 \(3{N \choose 4}\) 种。记 \(B\) 是冲突发生的对数，则：

\[\mathbb E(B) \le 3{N \choose 3}q_1^d+3{N \choose 4}q_2^d \]

经过简单的分析，第一项更紧，取 \(p = \frac{2}{3}\) 可以得到：

\[\mathbb E(B) \le 3{N \choose 3}\left(\frac{19}{27}\right)^d+3{N \choose 4}\left(\frac{41}{81}\right)^d \]

全部删掉!

把不合法的 \(B\) 个集合集合都删了，剩下的就是一个合法的构造。

所以只需要 \(B < N\) 就能找出构造。事实上只需要 \(\mathbb E(B) = o(N)\) 即可。

设 \(N = \lfloor e^{cd}\rfloor\)，第一项的要求是：

\[\frac{3{n \choose 3}\left(\frac{19}{27}\right)^d}{N} = O\left(N^2\left(\frac{19}{27}\right)^d\right) \]

所以只需要 \(2c + \log\frac{19}{27} < 0\)，即 \(c < \frac12\log\frac{27}{19}\)。

第二类同理得到 \(c < \frac13\log\frac{81}{41}\),故：

\[c < \frac12\log\frac{27}{19}\sim 0.1756 \]

于是像上面一样构造都有 \(\mathbb E(B) = o(N)\)，都存在大小至少为：

\[N - o(N) = \exp\left(\left(\frac12\log\frac{27}{19} - o(1\right))d\right) \]

的合法族。

而 \(d\) 由素数定理是 \((1 + o(1))\frac{\log m}{\log\log m}\) 的。

故我们得到了：

\[F(m) \ge \exp\left(\left(\frac12\log\frac{27}{19} - o(1)\right)\frac{\log m}{\log \log m}\right) \]

结论：

\[\boxed{\exp\left(\left(\frac12\log\frac{27}{19} - o(1)\right)\frac{\log m}{\log \log m}\right) \le F(m)\le \exp\left( \left(\log2+o(1)\right) \frac{\log m}{\log\log m} \right).}\]

因此目前可以写成

\[\boxed{ \exp\left( (0.175699-o(1)) \frac{\log m}{\log\log m} \right) \le F(m)\le \exp\left( (0.693147+o(1)) \frac{\log m}{\log\log m} \right). } \]

后话

这个问题的下界由信息论可以给出 \(c = \frac{\log 2}{2} \sim 0.3465\) 的非构造性下界。

本文由 \(\text{ChatGPT 5.6 Sol}\) 和 u 群群友给出做法。由 \(\text{Deepseek v4 pro 0813}\) 润色。

文字均为笔者所写，保证贡献大于\((?)\) AI。