第五次作业

已知：

机器由 n 个部件组成

每个部件可以从 m 个供应商中选择一个

𝑐
𝑖
𝑗
c
ij
​

：第 i 个部件从第 j 个供应商购买的价格

𝑤
𝑖
𝑗
w
ij
​

：对应的重量

总价格不能超过给定上限 d

目标：

在总价格 ≤ d 的前提下，选择每个部件的供应商，使机器总重量最小。

该问题是一个带约束的组合优化问题，可以使用回溯法求解。

1. 用回溯法分析“最小重量机器设计问题”
   1.1 “最小重量机器设计问题”的解空间

解空间指的是：
👉 所有可能的“部件–供应商”选择方案的集合。

对每个部件 i（1 ≤ i ≤ n），都要从 m 个供应商中选一个

一个完整解可以表示为：

（x1+x2+...+xn）
xi表示第 i 个部件选择的供应商编号（1～m）。

因此解空间的规模为：

𝑚的n次方

其中：

满足总价格 ≤ d 的方案是可行解

在所有可行解中，总重量最小的方案是最优解

1.2 “最小重量机器设计问题”的解空间树

解空间可以用一棵 解空间树 来表示：

根结点：尚未为任何部件选择供应商

第 1 层结点：为第 1 个部件选择一个供应商

第 k 层结点：已经为前 k 个部件选择了供应商

第 n 层（叶子结点）：为所有 n 个部件都选好了供应商，对应一个完整设计方案

特点：

树的深度为 n

每一层最多有 m 个分支（对应 m 个供应商）

回溯法按深度优先方式遍历该解空间树：

如果当前选择导致总价格超过 d，则停止向下扩展，回溯

否则继续向下搜索

1.3 遍历解空间树时，每个结点的状态值

在遍历解空间树的过程中，每个结点需要保存以下状态信息：

当前已选择的部件数即当前在第几层，表示已经为前 k 个部件选择了供应商

当前累计总价格，已选部件对应的价格之和，用于判断是否超过预算 d（可行性剪枝）

当前累计总重量，已选部件对应的重量之和，用于与当前最小重量进行比较（最优性判断）

当前选择的供应商序列，用于最终输出每个部件对应的供应商编号

如果在某个结点：当前累计价格 > d→ 该结点不可能产生可行解，立即回溯

如果到达叶子结点：比较当前重量与已知最小重量，若更小，则更新最优解

2. 我对回溯算法的理解

我对回溯算法的理解是：回溯算法是一种有条件的穷举搜索方法。
它的特点是：逐步构造解，每一步只做一个选择，选择不合适就撤销（回退），遇到不符合条件的情况就提前放弃，不用把所有情况都试一遍，能节省大量时间。

本质是深度优先搜索，一条路走到头，不行就回头换路，适合解决组合问题如：0-1 背包、n 皇后、排列组合、机器设计问题等

一句话总结

回溯法通过对解空间树进行深度优先搜索，在搜索过程中不断判断约束条件，对不可能得到最优解的分支及时回退。