第三次作业

一、动态规划法求解 “数字三角形”

1.1 递归方程式及边界条件问题描述数字三角形由 n 行数字组成，第 i 行（从 0 开始计数）有 i+1 个数字，记为triangle[i][j]（0≤j≤i）。

从顶部（第 0 行第 0 列）出发，每次只能向下（i+1,j）或向右下（i+1,j+1）移动，求到达底部（第 n-1 行）的路径上数字之和的最大值。
最优子结构性质设dp[i][j]表示从第 i 行第 j 列元素出发，到达底部的最大路径和。
对于第 i 行第 j 列的元素，其下一步只能移动到第 i+1 行第 j 列或第 i+1 行第 j+1 列，因此该位置的最优解依赖于这两个位置的最优解。
递归方程式：(dp[i][j] = triangle[i][j] + max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]))
边界条件当到达最后一行（i = n-1）时，没有后续路径，因此路径和即为自身：(dp[n-1][j] = triangle[n-1][j]

1.2 填表法细节表的维度采用二维表格dp存储子问题的最优解，维度为n×n（n 为三角形的行数）。

其中，第 i 行有效列范围为 0≤j≤i（与三角形结构一致）。填表范围需要填充表格中所有有效位置，即对于每一行 i（从 0 到 n-1），填充列 j（0≤j≤i）。
填表顺序由于dp[i][j]依赖于下一行的dp[i+1][j]和dp[i+1][j+1]，
因此填表顺序为自底向上：先填充最后一行（i = n-1）：直接根据边界条件赋值dp[n-1][j] = triangle[n-1][j]；
从第 n-2 行向上依次填充到第 0 行，每行从左到右（或从右到左，因同一行元素无依赖关系）计算dp[i][j]。
原问题的最优值原问题要求从顶部（第 0 行第 0 列）出发的最大路径和，因此最优值为表格的dp[0][0]。

1.3 算法的时间和空间复杂度时间复杂度
表格中共有1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2个有效元素，每个元素的计算仅需一次比较和加法操作（O (1)）。
总时间复杂度为O(n²)。空间复杂度若使用二维数组dp存储所有子问题解，空间复杂度为O(n²)。
优化：由于计算第 i 行时仅依赖第 i+1 行的结果，可使用一维数组滚动更新（仅保留当前行和下一行），空间复杂度可优化至O(n)。

二、对动态规划算法的理解和体会
动态规划（Dynamic Programming, DP）是一种通过存储子问题的最优解来高效求解复杂问题的方法，其核心思想可概括为 “避免重复计算，利用子问题最优解”。
核心要素：

1.重叠子问题：问题的解包含多个重复的子问题（如数字三角形中，不同路径可能经过同一位置，需重复计算该位置的最大路径和）。动态规划通过表格存储子问题解，将 “重复计算” 转化为 “查表”，大幅减少计算量。

2.最优子结构：问题的最优解可由子问题的最优解推导得出（如数字三角形中，父节点的最优路径和依赖子节点的最优路径和）。这是动态规划能够递归定义的基础。
与递归的区别：递归（自顶向下）可能因重复计算子问题导致效率极低（如数字三角形的朴素递归时间复杂度为 O (2ⁿ)）；而动态规划（自底向上）通过填表主动计算并存储子问题解，将指数级复杂度降至多项式级（如 O (n²)），体现了 “以空间换时间” 的策略。

实践体会：求解动态规划问题的关键是 “定义状态” 和 “推导转移方程”。状态定义需准确捕捉子问题的核心信息（如dp[i][j]的定义），转移方程需清晰描述子问题间的依赖关系。此外，空间优化（如滚动数组）在实际应用中能有效降低内存开销，体现了动态规划的灵活性。

总之，动态规划是解决具有重叠子问题和最优子结构问题的 “利器”，其思想不仅适用于算法题，也能指导实际工程中复杂问题的拆解与优化。