∑求和

样例

\( \sum_{n＝1}^{5}n^2 \)
\( ＝1^2＋2^2＋3^2＋4^2＋5^2 \)

意义：

\(n\)表示指标，\(\sum\)表示求和号，\(n^2\)表示通项

试用范围

• 多项之和，需要简写
• 项有规律，能够简写

性质

1. 指标用哪一个字母无所谓，但最好不要用同样的字母
2. \(\sum_{i＝1}^{n}(a_i＋b_i)＝\sum_{i＝1}^{n}a_i＋\sum_{i＝1}^{n}b_i\)
3. \(k\sum_{i＝1}^{n}a_i＝\sum_{i＝1}^{n}(ka_i)\)
4. \(\sum_{j＝1}^{m}\sum_{i＝1}^{n}a_{ij}＝\sum_{i＝1}^{n}\sum_{j＝1}^{m}a_{ij}\)
   \(a_{11}＋a_{12}＋a_{13}...＋a_{1m}\)
   \(＋a_{21}＋a_{22}＋a_{23}...＋a_{2m}\)
   \(＋a_{31}＋a_{32}＋a_{33}...＋a_{3m}\)
   \(...\)
   \(＋a_{n1}＋a_{n2}＋a_{n3}...＋a_{nm}\)

连加号格式

格式1：\(\sum_{指标＝下界}^{上界}通项\)
格式2：\(\sum_{下界≤指标≤上界}通项\)
格式3：\(\sum_{指标条件1 指标条件2 ...}通项\)
格式4：\(\sum_{指标\in指标集}通项\)
格式5：\(\sum通项\)

注意：合式和其他式做运算时，最好加上括号来清楚的表述

\(\sum_{i＝1}^n(2i＋1)＋\pi\)
\(＝\sum_{i＝1}^n[(2i＋1)＋\pi]\)
或
\(＝\sum_{i＝1}^n[(2i＋1)]＋\pi\)

应用

应用1：二项式展开
\((a＋b)^n＝c_n^0a^nb^0＋c_n^1a^{n－1}b^1...＋c_n^na^0b^n＝\sum_{i＝0}^nc_n^ia^{n－i}b^i＝\sum_{i＝0}^nc_n^ia^ib^{n－i}\)
应用2：莱布尼茨公式
\((u\cdot v)^{(n)}＝c_n^0u^nv^0＋c_n^1u^{(n－1)}v^1...＋c_n^nu^0v^n＝\sum_{i＝0}^nc_n^iu^{(n－i)}v^i\)
应用3：柯西不等式
\((a_1^2＋a_2^2...＋a_n^2)(b_1^2＋b_2^2...＋b_n^2)≥(a_1b_1＋a_2b_2...＋a_nb_n)^2\)
\(＝(\sum_{i＝1}^na_i^2)(\sum_{j＝1}^mb_j^2)≥(\sum_{i＝1}^na_ib_i)^2\)