树状数组

简介

树状数组是一种支持在 \(\log n\) 的时间内完成 单点修改 和 区间查询 的数据结构，并且它的 代码量极小。

事实上，树状数组能解决的问题是线段树能解决的问题的子集：树状数组能做的，线段树一定能做；线段树能做的，树状数组不一定可以。然而，树状数组的 代码要远比线段树短，时间效率常数也更小，因此很有学习价值。

有时，在差分数组和辅助数组的帮助下，树状数组还可解决更强的 区间加单点值 和 区间加区间和 问题。

首先你得知道，普通的树状数组维护的信息一定要满足 结合律 并且 可差分 ，如加法、乘法、异或等。

为什么是这样呢？因为事实上，树状数组维护的是一个类似前缀和的东西，所以维护的信息自然就要满足 结合律 并且 可差分。

查询

先考虑查询一个前缀区间 \([1,x]\)。

首先有一个显然的结论，任意一个数都可以表示成若干个 2的整数次幂 相加的形式。

由此，查询时我们考虑把 \([1,x]\) 拆成若干个 长度为2的整数次幂的区间 合并的形式。

现在问题是，怎么划分这些 长度为2的整数次幂的区间 ？

我们先考虑怎么找到这些区间的长度，这显然就简单了，转换为 二进制 就一目了然了。

举个例子，\(n=10\) 时，转换成二进制就是 1010 ，很快能找到两个长度 \(10_2\) 和 \(1000_2\) （\(x_2\) 这表示在二进制下的 \(x\)）。

所以我们只要在 \([1,n]\) 内酌情划分2个长度为 \(10_2\) 和 \(1000_2\) 的区间就好了。

树状数组是这样划分的，它会把二进制的 从右往左看 ，每看到一个 1 就按照往左划分一个长度为这个 1 对应的位权的区间。

如，当 \(n=11\) 时，它是这样划分成了这三个区间 \([11,11],[9,10],[1,9]\) 。

那么怎样找到这些被划分的区间呢？

设 \(tr_x\) 管辖区间 \([x-lowbit(x)+1,x]\) ，其中 \(lowbit(x)\) 表示 \(x\) 在 二进制下从右往左看第一个 1 的位权 。

怎么计算 \(lowbit(x)\) 呢？由位运算知识可得 lowbit(x)=x&-x。

原理如下，摘自 oiwiki：

将 x 的二进制所有位全部取反，再加 1，就可以得到 -x 的二进制编码。例如，6 的二进制编码是 110，全部取反后得到 001，加 1 得到 010。

设原先 x 的二进制编码是 (...)10...00，全部取反后得到 [...]01...11，加 1 后得到 [...]10...00，也就是 -x 的二进制编码了。这里 x 二进制表示中第一个 1 是 x 最低位的 1。

(...) 和 [...] 中省略号的每一位分别相反，所以 x & -x = (...)10...00 & [...]10...00 = 10...00，得到的结果就是 lowbit。

看完以上内容，你应该知道怎么查询了，从最右边的区间往左跳一下合并不就好了嘛。

其中 \([x-lowbit(x)+1,x]\) 的左边一个区间不就在 \(tr_{x-lowbit(x)}\) 里嘛。

至于边界就是 \(x=0\) 。

int getsum(int x){ //前缀区间和[1,x]
    int res = 0;
    for(; x > 0; x -= lowbit(x)) res += tr[x];
    return res;
}

现在考虑查询一个区间 \([l,r]\) ，因为维护的是 前缀区间并且满足结合律，所以结果就是 getsum(r)-getsum(l-1) 。

修改

考虑将 \(a\) 数组的第 \(x\) 个数加上某个数。

我们的目标是快速正确地维护 \(tr\) 数组。为保证效率，我们只需修改 管辖了 \(a[x]\) 的所有的 \(tr[y]\) ，因为其他的 \(tr[y]\) 显然 没有发生变化。

首先我们知道，\(tr[x]\) 肯定包含 \(a[x]\) ，而且 \(tr[k](k<x)\) 肯定不包含 \(a[x]\) 。

所以可以确定如果 \(tr[k]\) 要包含 \(a[x]\) ，那么 \(x\le k\) 。

既然都已经知道 \(tr[x]\) 包含 \(a[x]\) 了，那么对于 \(tr[k](k>x)\) ， 你都在 \(x\) 的右边了 ，你管辖区间的长度至少得大于 \(lowbit(x)\) 吧（不理解自己画图）。

显然，往右看，第一个这样的 \(k=x+lowbit(x)\) 。

仔细思考，这相当于一个 二进制进位的过程。

你现在应该知道怎么修改了，\(x\) 往左跳再修改一下不就好了嘛。 其中边界显然就是 \(x>n\) 。

void update(int x, int k){ //将第x个元素加上k。
    for(; x <= n; x += lowbit(x)) tr[x] += k;
}

建树

当然你可以用 update \(n\log n\) 建树，这里介绍两种 \(O(n)\) 建树法。

以维护前缀和为例

方法一：直接按照 \(tr\) 的定义用前缀和优化。

方法二（类似单点修改）：

因为 tr[i+lowbit(i)] 一定包含 tr[i] (原理自行思考qwq)。

  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    tr[i] += a[i];
    int j = i + lowbit(i);
    if (j <= n) tr[j] += tr[i];
  }

树？

Q：所以，这和树有甚么关系？？？

A：好像没有什么关系。

硬要扯，就是这样 （借用oiwiki的图）：

高级用法（留坑以后填）

参考资料

oiwiki