组合数学 学习笔记

原本觉得搞OI的时候组合计数还不算太弱，但现在已经完全不会了，，稍微补救一下

卡特兰数

组合意义

n个节点二叉树的形态个数（还有很多其他的形式）
（今天数据结构课上老师问了这个问题，然后我解了个生成函数发现不会化开根号，也忘记这是卡特兰数了）

计算

通过递推式可以列出生成函数，然后解一个二次方程，用广义二项式定理展开一下，经过化简后得到\(H(n)=\frac{C^n_{2n}}{n+1}\)

第二类斯特林数

组合意义

n个有标号的数分为k个无标号的集合的方案数

计算

递推

由组合意义可知：\(S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k)\)

通项

考虑万能的容斥原理，枚举至少有i个空集，注意到有空集之后就很难按照无标号做了（因为如果没有空集，那每个集合互相不同，就很好处理，反之就很麻烦）；那就先按照有标号做，到最后再除掉\(k!\)（容斥完之后已经保证了没有空集）

一行（即\(S(n,i)\)）

直接用通项公式卷积计算即可。

第一类斯特林数

组合意义

n个有标号的数分为k个无标号的环排列的方案数

计算

递推

由组合意义可知：\(S(n,k)=S(n-1,k-1)+(n-1)S(n-1,k)\)

通项

第一类斯特林数没有实用的通项公式。
——OI-wiki

一行（即\(S(n,i)\)）

通过递推式列生成函数，发现是n个多项式的乘积，可以分治fft；上升幂相关做法（？）可以做到一个log

一列（即\(S(i,k)\)）

因为n个数是有标号的，故考虑EGF（直观来说，从左往右考虑一段段数生成环排列，如果数无标号就是OGF，有标号就每生成一段多乘一个组合数，就是EGF）
容易得出一个环排列以排列长度为下标的生成函数，然后取k次幂即可。