ICPC 2022 KM 补题

先说三道概率相关的题

B

首先是判断每个子集是否覆盖了整个矩形，离散化后暴力做是 \(O(2^nT*400)\)，会TLE。当时队友想了一个挺巧妙的容斥的做法，但写起来比较复杂。其实发现就是一个01取并集的过程，可以直接bitset优化掉32倍的常数就ok了！

然后是状态转移，其实是比较经典的问题:有向图第一次走到合法的点的期望。但当时沿用了从起点开始，记录概率和期望的思路，结果碰到了一些麻烦就没调出来（后来冷静想了一下应该还是可以做的）

但从终点（合法点）往前考虑就会方便很多：直接DP考虑每个点出发的期望，从后往前DP即可！

就是要跳出从起点往后做的思维，考虑起点第一次到合法状态的期望这个问题：发现起点的问题可以转化为第一步到达的点的问题，所以就直接把状态设计为该点出发第一次到合法状态的期望!

G

原本想的是考虑第i个数最后在位置j的期望，但这个转移会受其他数字的状态影响，并且不是独立的，难以转移！

这时候，其实也是计数问题的常用思路：微观地考虑对答案的贡献。在本题中，第i个数最后在位置j的贡献是j-1，而又难以直接计算这个，故考虑分解这j-1的贡献，发现就是对于每个其它的数，如果最终在i前面，就贡献1，这就把贡献的计算缩小到了两个数之间的关系。

而对于两个数，计算其中一个在另一个前面的概率是显然的（其它数的变动都没有影响，只考虑这两个数的变动）。

C

很有意思的题。

然后是两道思维难度不大，但容易被卡的题

陷入log做法就会被精度和常数反复折磨的F

这个时候就不要太纠结于原来的想法了，考虑一下性质：如果没有点数不小于2的限制，那么取绝对值最大的点即可；加上这个限制后，沿用取绝对值最大的点这个思路（即均摊之后一定不会更优），把两个点看做一个点，那么点数一定小于4，只可能是2或3，所以直接搜一遍即可。

需要精妙地规避精度问题的L

大部分的做法是，根据题意列出关于斜率的不等式，转化为二维偏序；
我是对夹角的范围进行了\([L,\pi)-(R,\pi)\)这样的容斥，就可以转化为两个向量的方向关系（向量积小于0），但这个做法因为只有一个方向的限制，没法保证\([0,\pi)\)，所以还需要y的限制，还是二维偏序，就是少了个离散化。

主要的问题在于精度上！
对于容斥的做法而言，左右区间都是闭的，原本想的是用左闭减去右开，但这样计算闭区间的时候，共线的情况很难处理，原因在于：
1.判断共线的时候，eps很难设置。因为对于三角函数存储的误差难以估计，以及和坐标(x,y)相乘后，其误差会随着坐标的范围而改变，难以用常量来判断。
2.甚至对于开区间而言，我们对R加上一个微小量，还需要保证原本的共线情况不会被算到，即误差要大于eps，这就更加魔幻了。

然后想到把R加上一个微小量改成L减去一个微小量，计算开区间，这样可以规避上述问题；但对于R的开区间，要特别判断共线的情况，使其不计算到，这就还是有共线的问题。
在这个过程中各种调精度，正确率在20%到83%之间玄学横跳，就是真的会破防...

这时候冷静想一下，把R加上一个微小量保留，两边都是开区间且没有共线的情况，就完美地规避了共线的问题了！

对于这一类计算几何的精度问题，应该主要注意如何避免共线的判断，一般通过加减微小量改成开区间，同时可以避免共线的情况！

E——考察题目性质的字符串题

原本性质想偏了，以为是用SA+奇怪分讨，其实认真模一下样例画个图就会发现有问题...
对于每个询问，考虑用总的字符串数减去相同的字符串数。发现两个字符串相同的条件是：长度相同，且平移对应的两个区间相同；特殊地，我们考虑只平移一格的两个字符串，那么就要求平移对应的这两个字符相同；然后就发现区间相同就是由每个字符相同形成的，所以相当于每次平移对应的字符相同，所以计算两个区间之间对用相同的字符对数即可。对于多组询问，用莫队计算。
性质类的字符串题还是要多画图，多模样例！