各类ODE总结

一阶ODE

一、可分离变量
形如：
\(M1(x)M2(y)dx+N1(x)N2(y)dy=0\)
\(N1(x)=0-->x_0\)
\(M2(y)=0-->y_0\)
同除\(N1(x)M2(y)\),再积分

二、通过代换化成一
1.\(\frac{dy}{dx}=f(ax+by)\)
2.\(\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})\)
相同的思路，令\(z=()\),两边求导，再把\(\frac{dy}{dx}\)换掉，得到关于z的可分离变量ODE.

三、一阶线性ODE
\(y'+P(x)y=Q(x)\)
齐次通解
\(y'+P(x)y=0\)
\(y=Ce^{-\int P(x)dx}\)
非齐次通解
\(y=e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}+C]\)

四、\(Bernoulli\) ODE
\(y'+P(x)y=Q(x)y^n\)
\(y^{-n}y'+y^{1-n}P(x)=Q(x)\)
\(u=y^{1-n}\),带入，得关于u的线性ODE

二阶ODE

1.\(y''=f(x,y')\)
\(y'=P\)
化为关于P的一阶

2.\(y''=f(y,y')\)
\(y'=P\)
\(y''=\frac{dP}{dy} \frac{dy}{dx}=\frac{dP}{dy}P\)
化为关于P的一阶

3.二阶线性ODE
齐次通解
\(y''+py'+qy=0\)
\(\lambda^2+p\lambda+q=0\)
（1）.有两个相异的实根：\(y=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}\)
（2）.有两个相同的实根：\(y=(C_1x+C2)e^{\lambda x}\)
（3）.有两个共轭的复根：\(y=(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)e^{\alpha x}\)
非其次特解
\(y''+py'+qy=\phi(x)e^{rx}\)
\(y=x^kA(x)e^{rx}\)
k为r的在特征方程中的重数，\(A(x)\)为与\(\phi(x)\)同阶的多项式，可用待定系数法求得。

\(e^{ix}=cosx+isinx\)
等式右边含有\(cosx\)或\(sinx\)时，可令其为\(e^{ix}\)，最后取解的实部/虚部。