树与二叉树（一）二叉树的主要性质

1. 非空二叉树上叶子节点数等于双分支节点数加1.

证明：

第一步：设二叉树上叶子节点数为n0，单分支节点数为n₁，双分支节点数为n₂，则总节点数N=n₀+n₁+n₂；

第二步：除根节点外，每个节点都有双亲，也就是说每个节点都是其他某个节点的子结点。由此，总节点数=子节点总数+1(根节点)，即N=1*n₁+2*n₂+1;

综上，可得n₀+n₁+n₂=n₁+2n₂+1;解得n₀=n₂+1

证毕。

 

2.二叉树的第i层最多有2^i-1（i>=1）个节点.

证明：（数学归纳法）

第一步：已知，二叉树第一层只有一个根节点（root）,第一层节点数为2，即2⁰

第二步：设第i-1层（i>1）有2^i-2个结点，要使第i层结点数最多，就要让第i-1层的每个结点都有两个子结点，也就是说第i层的结点最多为第i层的两倍，即2^i-1

证毕。

 

3.高度（深度）为k的二叉树最多有2^k-1个结点。

证明：

要使总结点最多，就要使每层结点最多，根据性质2可知，每层结点的最大值构成了一个首项为1，公比为2的等比数列，那么总节点数就是这个等比数列的和，为2^k-1

证毕。

 

4.对于有n个结点的完全二叉树，按照从上到下、从左到右的顺序编码（根结点编码为1），则每个结点与其双亲结点（存在的情况下）和孩子结点（存在的情况下）之间都存在如下关系：

（注：完全二叉树是由满二叉树从右到左、从下到上依次删除结点所得。）

设a为结点A的编码。

若2a<=n,则A的左孩子编码为2a;若2a+1<=n,则A的右孩子编码为2a+1.

若a!=1,则A的双亲编码为[a/2](向下取整) 。

证明：

设A是第i行的第j个结点，则A是第2^i-1-1+j个结点（前i-1行结点总数+同行且位于A之前的结点数+1），a=2^i-1+j-1

如果2a<=n那么A存在左孩子，A的左孩子A_L位于第i+1行，且与它同行且在它之前的结点数为2(j-1)个，那么它的编码a_L =2ⁱ-1+2(j-1)+1=2ⁱ+2j-2=2a

同理可得A的右孩子结点编码为2a+1；

比较左右孩子结点的编码和A的编码，利用数学归纳法即可得出双亲编码为[a/2]（向下取整）。

证毕。

5.n个结点能构成h(n)种二叉树，h(n)=Cⁿ_2n /n+1

 

6.具有n个结点的完全二叉树的高度h,  h=[log₂n]+1(向下取整)=[log₂(n+1)](向上取整)

证明：

据性质三：      2^h-1-1<n<=2^h-1，   取对数：h-1<log₂(n+1)<=h       log₂(n+1)向上取整可得，h=[log₂(n+1)](向上取整)

                              2^h-1<=n<2^h,      取对数：h-1<=log₂n<h              log₂n      向下取整可得，h=[log₂n]+1(向下取整)

证毕。