具体数学-1

递归

汉诺塔问题

汉诺塔：汉诺塔（又称河内塔）问题是源于印度一个古老传说的益智玩具。大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。

问：\(n\)层的汉诺塔要移动多少次？

命名并求解：
设\(f(n)\)表示\(n\)层汉诺塔所需的步数。

递归的本质思想就是把问题的一部分看做“黑匣子”：

当我们需要移动\(n\)层汉诺塔时，
这里红色的代表一片，黑色的就是“黑匣子”，可以代表\(n-1\)片。
那么我们的移动方案就是：
用\(f(n-1)\)步：

用\(1\)步：

用\(f(n-1)\)步：

一共用了\(2f(n-1)+1\)步。
所以我们可以得到，$$f(n)=2f(n-1)+1$$
又因为\(f(0)=0\)
所以：

\[f(n)= \begin{cases} 0 & n=0\\ 2f(n-1)+1 & n>0 \end{cases} \]

---

但是我们发现，这种递推/递归式不好，我们至少要用\(O(n)\)的时间来计算它（动态规划）。
我们希望把它转化成一个封闭形式，方便求值。

方法一：
观察：

\(f(0)\) | \(f(1)\) | \(f(2)\) | \(f(3)\) | \(f(4)\) | \(f(5)\) | \(f(6)\) | \(f(7)\)

• | - | - | - | - | - | - | -
  \(0\) | \(1\) | \(3\) | \(7\) | \(15\) | \(31\) | \(63\) | \(127\)

可以看出有，$$f(n)=2^n-1$$
接下来，证明\(f(n)=2^n-1\)：
当\(n=0\)时，\(f(0)=2^0-1=0\)成立。
设\(n=k\)时成立，证\(n=k+1\)时成立：
知，\(f(k+1)=2f(k)+1\)
又，\(f(k)=2^k-1\)
\(\therefore f(k+1)=2\times 2^k-1\)
\(\therefore f(k+1)=2^{k+1}-1\)
\(\therefore\)当\(n=k+1\)时成立
得证，\(f(n)=2^n-1 \blacksquare\)

方法二：成套方法
后文介绍。

平面上的线

用\(n\)条直线能把一个平面分为几部分？

命名并求解：
令\(L(n)\)表示用\(n\)条直线能把一个平面分为的部分数。
有$$L(n)=L(n-1)+n$$
解出封闭形式$$L(n)=\frac{n(n+1)}{2}$$

成套方法求解递归式

可能大家会觉得，刚才介绍的猜的方法不好，万一猜不到呢qwq
这时候，成套方法闪亮登场了。
我们先来看看平面上的直线问题：

\[L(n)= \begin{cases} 1 & n=0 \\ L(n-1)+n & n>0 \end{cases} \]

我们可以研究一个更通用的形式：

\[R_0=\alpha \\R_n=R_{n-1}+\beta+\gamma n \]

这个递推式的值只和\(\alpha,\beta,\gamma\)的取值有关，也就是说：

\[R_n=A(n)\alpha+B(n)\beta+C(n)\gamma \]

其中\(A(n),B(n),C(n)\)是只和\(n\)有关的函数。

令\(R_n=1\)
\(\because R_0=\alpha\)
又\(R_0=1\)
\(\therefore \alpha=1\)