提取对角线 vs. T19.3.②：谁会赢？

\[\begin{aligned} F(x)&=\sum_kx^k\sum_{m=0}^k\binom{m+k}{k}2^{k-m}\\ &=\sum_k x^k [u^k](1-u)^{-k-1}(1-2u)^{-1} \\ &=[u^0]\sum_k x^ku^{-k}(1-u)^{-k-1}(1-2u)^{-1} \\ &=[u^0](1-u)^{-1}(1-2u)^{-1}\sum_k x^ku^{-k}(1-u)^{-k} \\ &=[u^0](1-2u)^{-1}u(u-u^2-x)^{-1} \\ &=[u^{-1}] (1-2u)^{-1}(u-u^2-x)^{-1} \end{aligned} \]

奇点为：

\[u=\frac{1}{2},\frac{1\pm \sqrt{1-4x}}{2} \]

显然在 \(x \rightarrow 0\) 时只有 \((1- \sqrt{1-4x})/2 \rightarrow 0\)，故取之：

\[\begin{aligned} F(x)&=(1-2u)^{-1}(\sqrt{\Delta})^{-1}\\ &=(\sqrt{1-4x})^{-1}(\sqrt{1-4x})^{-1}\\ &=(1-4x)^{-1} \end{aligned} \]