单纯形学习笔记

线性规划是很多最优化问题可以归约到的模型，而单纯形是解决之的一个较为简单的算法。虽然复杂度不优，但通常而言和无优化的网络流效率相当，而且比较玄学。很多时候可以作为乱搞做法获得一定分数。

1.线性规划标准型

我们定义 线性规划标准型 为如下形式的线性规划问题：

\[\left\{ \begin{aligned}&Answer=\max(\sum a_{0,i}x_i)\\ &\sum a_{1,i}x_i=b_1\\ &\sum a_{2,i}x_i=b_2\\ &...\\ &\sum a_{m,i}x_i=b_m\\ &0 \leq x_{1...n} \end{aligned} \right.\]

其中包含 \(n\) 个变量和 \(m\) 条约束（\(n \geq m\)，否则必然存在无用的约束或者整体无解）。注意到其中所有约束皆是等式。对于 \(\leq\) 约束，可以在加入一个新的变量，在等式右侧加上之，即可改为等式，\(\geq\) 同理。

为什么要引入标准型呢？因为在可以把约束写成矩阵的形式 \(A\vec X=\vec B\)，非常方便我们对约束进行变换。

2.基准变量与pivot操作

单纯形算法基于如下观察：在一个线性规划标准型的解中，会有很多变量的值为0. 因此可以将对于解的贡献为正且相互线性独立的变量设为 基准变量，可以发现这样的变量数不会超过 \(m\)。注意到这些基准变量可以由其他变量完全确定，因此如果我们找到了正确的基准变量，将其他变量设为 \(0\) 即可得到答案。设通过常数项和非基准变量确定基准变量和结果的系数矩阵为 \(M\)。

通过 pivot操作，我们可以将一个基准变量与非基准变量互换。具体而言，如果将基准变量 \(x_u\) 与非基准变量 \(x_v\) 互换，首先将 \(M_u\) 一行进行修改，使得其表示由新的非基准变量转移到 \(x_v\) 的系数，然后对于所有非 \(M_u\) 的行，求得其新的转移。这里有个小 trick：对 \(M\) 矩阵对于非基准变量的系数取负，可以使代码简洁许多，具体而言，新的变换如下：

\[x_u=M_{u,0}-\sum_{i非基准变量} M_{u,i}x_i \]

变换后：

\[x_v=\frac{1}{M_{u,v}}(M_{u,0}-x_u-\sum_{i非基准变量,i \neq u} M_{u,i}x_i) \]

其他值的变换中的 \(x_v\) 直接分解成上述式子即可，类似初等行变换。

3.具体求法和初始化

我们现在可以通过 pivot 操作改变基准变量，但是如何得到最优值还是存在问题。首先，我们必须保证得到的结果是合法的，即 \(M_{i,0}\) 对于所有基准变量 \(x_i\) 都是非负的（因为所有的变量必须非负）.为了保证这一点，每次我们 随机 选取一个不符合上述条件的基准变量 \(x_u\)（即矩阵行）,然后选取一个对其贡献系数为正的非基准变量 \(x_v\)（即 \(M_{u,v} \lt 0\)，因为 trick），然后 pivot(u,v) 即可。若找不到这样的 \(x_u\)，说明初始化成功了；如果找到了\(x_u\)却找不到 \(x_v\) 说明无解。

考虑最后找到结果的条件：当且仅当表示答案的非基准变量的系数皆非正才是正确的，毕竟我们需要将其他变量设为 \(0\)。因此，我们每次找到一个对于答案贡献为正的非基准变量 \(x_v\)（即矩阵列），找到使得 \(M_{u,0}/M_{u,v}\) 最小且非负的 \(x_u\)，然后 pivot(u,v) 即可。若找不到这样的 \(x_v\)，说明求解成功了；如果找到了\(x_v\)却找不到 \(x_u\) 说明无解。

为什么要找 \(M_{u,0}/M_{u,v}\) 最小且非负的 \(x_u\) 呢？这是为了防止初始化的结果付之东流。考虑一次 pivot(u,v) 对于一个 \(M_{w,0}\) 的贡献，可以发现其为:

\[\frac{M_{w,v}M_{u,0}}{M_{u,v}} \]

注意到必须保持 \(M_{w,0}\) 非负，因此上值必须小于 \(M_{w,0}\)，若 \(M_{w,v} \leq 0\) 则上值非正，否则变换后有：

\[\frac{M_{u,0}}{M_{u,v}} \leq \frac{M_{w,0}}{M_{w,v}} \]

因此必须找到符合上述条件的 \(x_u\)。

最后的结果在所有非基准变量设为0时取得。注意到在整个过程中 \(M_0\) 一列求和结果保持不变为 \(0\)，因此可以发现结果为 \(-M_{0,0}\)。

4.小技巧

注意到很多时候题目给出的线性规划形如这样：

\[\left\{ \begin{aligned}&Answer=\max(\sum a_{0,i}x_i)\\ &\sum a_{1,i}x_i\le b_1\\ &\sum a_{2,i}x_i\le b_2\\ &...\\ &\sum a_{m,i}x_i\le b_m\\ &0 \leq x_{1...n} \end{aligned} \right.\]

通用的解决方法是加入 \(m\) 个虚变量，将其变为标准型（见1），在这里选取最开始的基准变量时可以偷个懒，直接选取这些虚变量，初始的 \(M\) 矩阵也就可以直接设置为上述系数。