洛谷 P1850 [NOIP 2016 提高组] 换教室
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前言
终于自己想出概率期望 \(dp\) 的状态了，但是依旧没能相对转移方程。（招笑）
暴力
这题部分分和特殊情况分给的挺多的，所以先拿部分分。
一、思路
- 先跑一边 \(Floyd\) 最短路求出两点间最短距离 \(dis_{i, j}\)。
- 对于 \(m = 0\)，答案就是 \(\sum_{i = 1}^{n - 1} dis_{c_{i}, c_{i + 1}}\)；
对于所有 \(n \leq 20\)，直接用状态压缩，二进制枚举所有 【申请情况】 与 【同意情况】（注意：这两者不一样，因为申请了不一定同意，所以枚举申请情况之下还要枚举同意情况），直接计算。
二、复杂度
- 空间：\(O(v^2 + n)\)。
- 时间：对于 \(m = 0\)，\(O(v^3 + n)\)；对于 \(n \leq 20\)，\(O(v^3 + n \times 2^n \times 2^m)\)。
（当然后者的时间复杂度远远跑不满，因为对于多数数据 \(m\) 很小，会限制枚举的状态数量）
三、代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2e3 + 7;
const int maxv = 3e2 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int n, m, v, e;
int c[maxn], d[maxn];
double p[maxn];
int dis[maxv][maxv];
void Floyd() {
for (int k = 1; k <= v; ++k)
for (int i = 1; i <= v; ++i)
for (int j = 1; j <= v; ++j)
dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);
}
double ans;
int main() {
scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &v, &e);
for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", c + i);
for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", d + i);
for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lf", p + i);
memset(dis, inf, sizeof(dis));
for (int i = 1; i <= v; ++i) dis[i][i] = dis[0][i] = dis[i][0] = 0;
for (int i = 1, a, b, w; i <= e; ++i) {
scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
dis[a][b] = dis[b][a] = min(w, dis[a][b]);
}
Floyd();
if (m == 0) {
for (int i = 1; i < n; ++i)
ans += dis[c[i]][c[i + 1]];
printf("%.2lf\n", ans);
return 0;
}
ans = 2e9;
for (int s = 0; s < (1 << n); ++s) { // 枚举【申请情况】
if (__builtin_popcount(s) > m) continue; // 用来计算 s 二进制中有多少个 1 的函数
double sum = 0; // 此【申请情况】下的期望
for (int ss = s; 1; ss = s & (ss - 1)) { // 枚举【同意情况】
double tmp = 0; // 此【同意情况】对【申请情况】的贡献
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
int lst = ((ss & (1 << (i - 1 - 1))) ? d[i - 1] : c[i - 1]);
int now = ((ss & (1 << (i - 1))) ? d[i] : c[i]);
tmp += dis[lst][now];
}
for (int i = 1; i <= n; ++i)
if (ss & (1 << (i - 1))) tmp *= p[i];
else if (s & (1 << (i - 1))) tmp *= 1 - p[i];
sum += tmp;
if (ss == 0) break;
}
ans = min(ans, sum);
}
printf("%.2lf\n", ans);
return 0;
}
期望得分 \(68pts\)，实际得分 \(68pts\)。
（洛谷测评机跑出来挺迷的，应该是数据水的问题，前面暴力的数据点一部分没过，后面正解的数据点过了一部分）
正解
概率期望的题一般就是拿 \(dp\) 做。
一、思路
状态设计
- 很明显要有两维的状态 \(i, j\)，表示前 \(i\) 个中选了 \(j\) 个。
但是由于花费还与上一状态有关（上一个课程是在 \(c_i\) 还是 \(d_i\)），所以还要一维表示这个课是否被申请了。 - 设 \(dp_{i, j, 0/1}\) 表示在前 \(i\) 个课中 申请了（注意不是同意！！）\(j\) 个，且第 \(i\) 个课【没被申请 / 被申请了】时的最小期望。
状态转移
- 若当前课程 \(i\) 不申请，且上一个课程也没有申请，那么转移方程为：
\[dp_{i, j, 0} = min(dp_{i, j}, dp_{i - 1, j, 0} + dis_{c_{i - 1}, c_i})
\]
- 若当前课程 \(i\) 不申请，但上一个课程申请了，那么上一个申请可以通过，也可以不通过，那么转移方程为（转移条件为 \(j > 0\)）：
\[dp_{i, j, 0} = min( dp_{i, j, 0}, dp_{i - 1, j, 1} + dis_{c_{i - 1}, c_{i}} \times (1 - k_i) + dis_{d_{i - 1}, c_i} \times k_{i})
\]
- 若当前课程 \(i\) 申请，那么上一次可以申请，也可以不申请，总共有四种情况，在此就不列举出来了（条件当然也是 \(j > 0\)）。
边界条件
- 只有一个课程时，申请或不申请期望花费都为 \(0\)，即：\(dp_{1,0,0} = dp_{1,1,1} = 0\)。
- 而对于 \(dp_{1,0,1},dp_{1,1,0}\) 这种不合法状态，我们可以先把他们设为正无穷，这样就不会从它门转移了。
答案
- 因为题目说可以不用玩 \(m\) 次申请，所以答案就是 \(min_{i = 0}^{m} \left\{dp_{n, i,0}, dp_{n, i, 1} \right\}\)。
复杂度
- 空间：\(O(v^2 + n \times m)\)；
- 时间：\(O(v^3 + n \times m)\)。
二、代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2e3 + 7;
const int maxv = 3e2 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int n, m, v, e;
int c[maxn], d[maxn];
double p[maxn];
int dis[maxv][maxv];
void Floyd() {
for (int k = 1; k <= v; ++k)
for (int i = 1; i <= v; ++i)
for (int j = 1; j <= v; ++j)
dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);
}
double dp[maxn][maxn][2];
double ans;
int main() {
scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &v, &e);
for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", c + i);
for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", d + i);
for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lf", p + i);
memset(dis, 63, sizeof(dis));
for (int i = 1; i <= v; ++i) dis[i][i] = dis[i][0] = dis[0][i] = 0;
for (int i = 1, a, b, w; i <= e; ++i) {
scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
dis[a][b] = dis[b][a] = min(w, dis[a][b]);
}
Floyd();
for (int i = 0; i <= n; ++i)
for (int j = 0; j <= m; ++j)
dp[i][j][0] = dp[i][j][1] = 2e9;
dp[1][0][0] = dp[1][1][1] = 0;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
dp[i][0][0] = dp[i - 1][0][0] + dis[c[i - 1]][c[i]];
for (int j = 1; j <= min(i, m); ++j) {
// 巨丑马蜂
dp[i][j][0] = min(dp[i - 1][j][0] + dis[c[i - 1]][c[i]],
dp[i - 1][j][1] + dis[c[i - 1]][c[i]] * (1 - p[i - 1]) + dis[d[i - 1]][c[i]] * p[i - 1]);
dp[i][j][1] = min(dp[i][j][1], dp[i - 1][j - 1][0] +
dis[c[i - 1]][c[i]] * (1 - p[i]) +
dis[c[i - 1]][d[i]] * p[i]);
dp[i][j][1] = min(dp[i][j][1], dp[i - 1][j - 1][1] +
dis[c[i - 1]][c[i]] * (1 - p[i - 1]) * (1 - p[i]) +
dis[c[i - 1]][d[i]] * (1 - p[i - 1]) * p[i] +
dis[d[i - 1]][c[i]] * p[i - 1] * (1 - p[i]) +
dis[d[i - 1]][d[i]] * p[i - 1] * p[i]);
}
}
ans = 2e9;
for (int i = 0; i <= m; ++i)
ans = min(ans, min(dp[n][i][0], dp[n][i][1]));
printf("%.2lf\n", ans);
return 0;
}
期望的分 \(100pts\)，实际得分 \(100pts\)。
浙公网安备 33010602011771号