BZOJ P1419 Red is good

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思路

状态设计

我们可以想象先把所有牌倒入一个袋子中，然后在一个一个取。
设 \(dp_{i, j}\) 表示目前袋中有【\(i\) 个红牌】和【\(j\) 个黑牌】。

状态转移

现在考虑从袋子中抓牌：

1. 抓到的是红牌：
   抓到红牌的概率是 \(\frac{i}{i + j}\)，抓后袋子中还剩下 \(i - 1\) 个红牌和 \(j\) 个黑牌，那么抓到红牌的期望贡献就是 \(\frac{i}{i + j} \times (dp_{i - 1, j} + 1)\)；
2. 抓到的是黑牌：
   抓到黑牌的概率是 \(\frac{j}{i + j}\)，抓后袋子中还剩下 \(i\) 个红牌和 \(j - 1\) 个黑牌，那么抓到红牌的期望贡献就是 \(\frac{j}{i + j} \times (dp_{i, j - 1} + 1)\)。
3. 随时停止：因为有可以随时停止这一限制，所以在转移时，我们要将 \(dp_{i, j - 1}\) 和 \(dp_{i - 1, j}\) 与 \(0\) 取 \(max\)。因为再在剩下的牌中取时，期望已经是负数，所以取的话肯定更劣。与 \(0\) 取 \(max\) 就相当于是停止取牌。

因此总得转移方程就是：

\[dp_{i, j} = \frac{i}{i + j} \times (max(dp_{i - 1, j}, 0) + 1) + \frac{j}{i + j} \times (max(dp_{i, j - 1}, 0) + 1) \]

边界条件

当没有黑牌的时候，\(\forall i \in [1, n], \ dp_{i, 0} = i\)。

复杂度

• 时间复杂度 \(O(n \times m)\)；
• 空间由于限制了 \(64MB\)，所以要用滚动数组，最后为 \(O(m)\)。

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代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn = 5e3 + 7;

int n, m;
double dp[2][maxn];
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);	
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		int now = i & 1, lst = (i - 1) & 1;
		dp[now][0] = i;
		for (int j = 1; j <= m; ++j) {
			dp[now][j] = (max(dp[lst][j], 0.0) + 1) * i / (i + j) + 
					     (max(dp[now][j - 1], 0.0) - 1) * j / (i + j);
		}
	}
	int x = dp[n & 1][m] * 1e6;  // 不进位保留 6 位 小数
	printf("%.6lf\n", max(0.0, x * 1e-6));
	return 0;
}