AtCoder [ABC156E] Roaming

题目传送门

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前言

每次在做数学的时候（尤其是组合排列），都深深地感受到一种无力感\(......\)一种看完题解感觉自己跟傻*一样地无力感\(......\)

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思路

我们先考虑最多会剩下多少个空房间：
\(k\) 个人各向左走一步就会剩下 \(k\) 个空房间，但是由于 \(k\) 可能大于等于 \(n\)，所以 \(k\) 要与 \(n - 1\) 取 \(min\)。
然后我们枚举剩下 \(i\) 个空房间，\(i \in [0, min(k, n - 1)]\)，每个有 \(C_n^i\) 种选择。

然后就是把 \(n\) 个人划分到 \(n - i\) 个房间里的可能数：
这就相当于在 \(n\) 个无差别的人之间插入隔板，将其分成 \(n - i\) 个非空集合，就有 \(C_{n - 1}^{n - i - 1}\) 种可能。

所以一共就有：\(\sum_{i = 0} ^ {min(k, n - 1)} C_n^i \times C_{n - 1} ^ {n - i - 1}\) 种可能。

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代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn = 2e5 + 7;
const int mod  = 1e9 + 7;

ll n, k, ans;
ll fac[maxn], inv[maxn];
ll qpow(ll x, ll y) {
	ll res = 1;
	for (; y; y >>= 1, x = x * x % mod)
		if (y & 1) res = res * x % mod;
	return res;
}
ll C(ll x, ll y) {return fac[x] * inv[x - y] % mod * inv[y] % mod;}
int main() {
	scanf("%lld%lld", &n, &k);
	fac[0] = inv[0] = 1;
	for (ll i = 1; i <= n; ++i) {
		fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
		inv[i] = qpow(fac[i], mod - 2);
	}
	for (int i = 0; i <= min(k, n - 1); ++i)
		ans = (ans + C(n, i) * C(n - 1, i) % mod) % mod;  // C(n - 1, n - i - 1) = C(n - 1, i)
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}