洛谷 P1433 吃奶酪

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前言

虽然是一道非常基础的状压 \(dp\)（在洛谷上甚至是道驴蹄），但是我调了两个晚自习，最后发现是竟然是状态设计有问题。
所以在此篇题解中，我不但会说出正确做法，还会说出原本的代码错在哪里。
以警醒自己状态设计正确的重要性

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错误思路

设 \(dp_s\) 表示从 \((0, 0)\) 走到当前状态 \(s\) 所用的最小路程。
那么就可以得出如下代码（每一段的具体解释见注释）：

for (int si = 0; si <= ns; ++si) {  // ns 表示状态总数, 就是 (1 << n) - 1
	for (int i = 0; i < n; ++i) {  // 枚举当前所在节点 
		if (!(si & (1 << i))) continue;
		int sj = si ^ (1 << i);  // 上一个状态 
		if (!sj) {  // 如果上一个状态是全 0, 那就说明是从起点转移过来的 
			dp[si] = min(dp[si], dp[sj] + dis(0, i + 1));
			continue;
		}
		
		// 若不为全 0, 那就从上一个状态中枚举前一个位置 
		for (int j = 0; j < n; ++j)
			if (sj & (1 << j))
				dp[si] = min(dp[si], dp[sj] + dis(i + 1, j + 1));
	}
}

你若把代码补全就会发现只能得 \(66 \ pts\)。

那为什么错呢？

在原本代码中，我们会枚举我们所在的上一个节点（即枚举 \(j\)）。但是我们似乎忘了，在达到状态 \(sj\) 的最小路径时，它最后到达的一个节点 【不一定】 是我们所枚举的！

假设【当前状态与位置】、【上一个状态】如下（从右往左数）：

\[当前状态: \ 0001 \ 1101, i = 4; \\ 上一个状态: \ 0001 \ 0101 \\ \]

假如我们所枚举的上一个节点 \(j = 5\)，我们由 \(dp_{sj} + dis(i = 4, j = 5)\) 转移过来。
但是可能到达状态 \(0001 \ 0101\) 的结尾节点是 \(j' = 3\)，此时我们再这样转移显然就是错的。

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正确思路

在我们的错误思路中，发现我们的状态还关乎于所处的最后一个节点。所以，增加一维状态：设 \(dp_{i, si}\) 表示在已经走过 \(si\) 的状态下，所处的最后一个节点是 \(i\)。

那么正确的代码就呼之欲出了：

#include <bits/stdc++.h>

#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second

using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn = 15 + 7;
const int maxs = (1 << 15) + 7;
const int inf  = 0x3f3f3f3f;

int n, ns;
double x[maxn], y[maxn];
double dp[maxn][maxs];
double dis(int a, int b) {
	return sqrt((x[a] - x[b]) * (x[a] - x[b]) + 
				(y[a] - y[b]) * (y[a] - y[b]));
}
void print(int x) {
	for (int i = 0; i < n; ++i)
		if (x & (1 << i)) putchar('1');
		else putchar('0');
}
int main() {
	scanf("%d", &n), ns = (1 << n) - 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		scanf("%lf%lf", x + i, y + i);
	for (int i = 0; i <= n; ++i)
		for (int si = 0; si <= ns; ++si) dp[i][si] = 2e9;
	dp[0][0] = 0;
	for (int si = 0; si <= ns; ++si) {
		for (int i = 0; i < n; ++i) {
			if (!(si & (1 << i))) continue;
			int sj = si ^ (1 << i);
			if (!sj) {
				dp[i][si] = min(dp[i][si], dis(0, i + 1));
				continue;
			}
			for (int j = 0; j < n; ++j)
				if (sj & (1 << j))
					dp[i][si] = min(dp[i][si], dp[j][sj] + dis(i + 1, j + 1));
		}
		
	}

  // 结尾可能在任意一个节点, 因此要取最小值
	double ans = 2e9;
	for (int i = 0; i <= n; ++i)
		ans = min(ans, dp[i][ns]);
	printf("%.2lf\n", ans);
	return 0;
}