洛谷 P5911 [POI 2004] PRZ

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前言

虽然是一道比较好想的状压 \(dp\)，但是它深深使我我感受到【简洁而快速的二进制操作】对状压 \(dp\) 的重要意义。

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暴力思路 & 代码

设 \(dp_s\) 为表示：状态 \(s\) 所代表的人们过桥所需的最少时间（\(s\) 的二进制中，从右往左数第 \(i\) 若为 \(1\)，那么就代表这个人在过桥队伍当中；若为 \(0\)，就代表不在这一波过桥）。
最后的答案是 \(dp_{(1 << n) - 1}\)（即二进制上的每一位都是 \(1\)）。

我们先预处理每种状态的总重与过桥时间。
然后从小到大枚举状态 \(i\)，再枚举状态 \(i\) 的子状态 \(j\)（子状态就是指：【\(s\) 所代表过桥的人组成的集合】的子集），然后看子状态 \(j\) 的总重是否能过桥，能的话就转移，不能的话就算了。
具体见代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn = 16 + 7;
const int maxs = (1 << 16) + 7;
const int inf  = 0x3f3f3f3f;

int n, m, ns;
int w[maxn], t[maxn];
int sw[maxs], mt[maxs];

int dp[maxs];
int main() {
	scanf("%d%d", &m, &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		scanf("%d%d", t + i, w + i);
	ns = (1 << n) - 1;
	for (int s = 0; s <= ns; ++s)
		for (int i = 0; i < n; ++i)
			if (s & (1 << i))
				sw[s] += w[i + 1],
				mt[s] = max(mt[s], t[i + 1]);
				
	memset(dp, inf, sizeof(dp));
	dp[0] = 0;
	for (int i = 0; i <= ns; ++i) {
		for (int j = 0; j <= ns; ++j) {
			if (i & j != j) continue;  // 这一步就是用来判断 j 是否是 i 的子状态的
			if (sw[j] <= m) dp[i] = min(dp[i], mt[j] + dp[i ^ j]);
		}
	}
	printf("%d\n", dp[ns]);
	return 0;
}

时间复杂度是 \(O(2 ^ n \times 2 ^ n)\) 跑满的，交上去只能得 \(85 \ pts\)。

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优化

说是优化，其实就是舍去一些不必要的状态（即：\(j\) 不是 \(i\) 子状态的情况），并不能优化时间复杂度，但是确实可以通过此题，因为时间复杂度远远跑不满。

先看看改了哪里：

for (int j = i; j; j = i & (j - 1))

其实就是改了枚举 \(i\) 的子状态的方法，即：不再枚举所有状态然后判断哪个是子状态，而是直接枚举子状态。

这个的妙处在于，它每次都会把 \(j\) 目前的最后一个 \(1\) 变成 \(0\)，然后再把这位之前的变成与 \(i\) 对应位置相同的状态。
比如：

\[i = 0110 \ 1100, \ j_0 = i = 0110\ 1100 \]

下边开始进行模拟运算：

\[j_1 = i \ \& \ (j_0 - 1) = 0110 \ 1000 \\ \]

\[j_2 = i \ \& \ (j_1 - 1) = 0110 \ 0100 \\ \]

\[j_3 = i \ \& \ (j_2 - 1) = 0110 \ 0000 \\ \]

\[j_4 = i \ \& \ (j_3 - 1) = 0100 \ 1100 \\ \]

\[j_5 = i \ \& \ (j_4 - 1) = 0100 \ 1000 \\ \]

\[j_6 = i \ \& \ (j_5 - 1) = 0100 \ 0100 \\ \]

\[j_7 = i \ \& \ (j_6 - 1) = 0100 \ 0000 \\ \]

\[j_8 = i \ \& \ (j_7 - 1) = 0010 \ 1100 \\ \]

\[j_9 = i \ \& \ (j_8 - 1) = 0010 \ 1000 \\ \]

\[j_{10} = i \ \& \ (j_9 - 1) = 0010 \ 0100 \\ \]

\[j_{11} = i \ \& \ (j_{10} - 1) = 0010 \ 0000 \\ \]

\[... \]

总之它是正确的。
代码就不全放了。