二分图的König-Egerváry定理

1.最小点覆盖集：

最小点覆盖集是指：在二分图中，选取最少的点并使任意一条边至少有一端被包含在内，这些点构成的点集，就是最小点覆盖集。

最小点覆盖集的大小，就是最小点覆盖数。

在二分图中每条边连着左部和右部的一个点，所以对于一个连通的二分图，它的最小点覆盖数就是它左部和右部中较小部的大小。

这个连通二分图的最大匹配数也是左右部中较小一个的大小。因为这个图连通，较小部内的任意一点向外至少连了一条边。

那么就可知：在一个连通的二分图中，这个图的最大匹配数和最小点覆盖数相等。

那么对于不连通的二分图呢？不连通的二分图其实就是几个连通的二分图堆一起组成的。

所以：在一个不连通的二分图中，这个图的最大匹配和最小点覆盖数也相等。

综上：在任意二分图中，这个图的最大匹配数 \(=\) 最小点覆盖数。

2.最大独立集：

最大独立集是指：选取最多的点并使点集中的任意两点在【原二分图】中都【没有边相连】，这些点构成的点集就是最大独立集。

最大独立集的大小，就是最大独立数。

其实想一想，最小点覆盖集的反面，或者说补集是什么？

是不是就是 "任意一条边 至多 有一端被包含在内"。

“至多有一端被包含” 就保证了在 【最小点覆盖集】的【补集】 中，任何两点在原二分图中都没有边相连。

这不就是最大独立集吗？

因此得出结论：在任意二分图中，这个图的 最大独立数 \(=\) 节点数 - 最小点覆盖数 \(=\) 节点数 - 最大匹配数。

这就是大名顶顶的 “König-Egerváry定理” ！！！