我也要学高代

现在是 1 月 5 日，八点零二分。高等线性代数，一章没看。

明天早九考试，何如？

---

行列式

\(|A|\) 为行列式，\(M_{i,j}\) 为余子式，\(A_{i,j}\) 为代数余子式，有 \((-1)^{i+j}\)

可按照任意行或列展开：\(|A|=\sum\limits_{i=1}^{n} a_{r,i}A_{r,i}\)

行列式的组合定义：\(|A|=\sum_P(-1)^{\tau(P)}\prod\limits_{i=1}^n a_{i,P_i}\)

\(\text{Laplace}\) 定理：确定若干行，枚举对应行，生成方阵的行列式与剩余方阵的行列式相乘，还有一点点 \((-1)\) 的系数

\(|AB|=|A||B|\)

\(\text{cauchy binet}\) 定理：\(A_{m\times n},B_{n\times m}\)，则

\(|AB|\) 为任选 \(m\) 个编号，\(A\) 中的生成方阵的行列式与 \(B\) 中的生成变阵的行列式相乘的和

矩阵

奇异阵：满秩的方阵

伴随矩阵：\(A^*_{i,j}=A_{j,i}\)，有 \(A^*=|A|A^{-1}\)

初等矩阵：

\(P_{i,j}\) 为单位矩阵交换 \(i,j\) 两行，左乘为交换两行，右乘为交换两列

\(P_i(c)\) 为单位矩阵第 \(i\) 行乘 \(c\)，左乘为第 \(i\) 行乘 \(c\)，右乘为第 \(i\) 列乘 \(c\)

\(T_{i,j}(c)\) 为单位矩阵但第 \(j\) 行第 \(i\) 列多了个 \(c\)，左乘为第 \(i\) 行乘 \(c\) 加到第 \(j\) 行，右乘为第 \(j\) 列乘 \(c\) 加到第 \(i\) 行

矩阵的相抵关系：称 \(A\sim B\)，则存在满秩的矩阵 \(P,Q\) 使得 \(B=PAQ\)，即 \(r(A)=r(B)\)

分块矩阵：

对分块矩阵做行变换是注意只能左乘，列变换只能右乘

线性空间

定义：有加法和数乘，满足加法交换，结合，零元，逆元，乘法幺元，分配（对向量，对数），结合

对于线性方程组：\(A\) 为系数矩阵，\(\tilde A\) 为增广矩阵

有解的充要条件：\(r(A)=r(\tilde A)\)，有唯一解：\(r(A)=n\)

解空间 \(W\) 为 \(Ax=0\) 的解空间，\(Ax=\beta\) 可以找到特解 \(\alpha\)，然后 \(\alpha+W\)

有 \(\dim W+r(A)=n\)

坐标

对于 \(n\) 维空间的一组基 \(\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\)

若向量 \(\alpha=a_1e_1+a_2e_2+\cdots+a_ne_n\)，则其坐标为 \((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)

另有一组基 \(f\)，\(A\) 为 \(e\) 到 \(f\) 的过度矩阵，则 \(f=eA\)（其中基为行向量）

若 \(\alpha=\lambda_1e_1+\cdots+\lambda_ne_n=\mu_1f_1+\cdots+\mu_nf_n\)，则 \(\lambda=A\mu\)

子空间

对于 \(S\subseteq V\)，\(L(S)\) 为最小的包含 \(S\) 的子空间

直和：\(V_1\cap V_2=0\)，则 \(V_1+V_2=V_1\oplus V_2\)

线性映射

两空间 \(U,V\)，有 \(\varphi:V\to U\)，且 \(\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b),\varphi(ka)=k\varphi(a)\)

特别地，若 \(\varphi\) 为双射则称同构映射，\(\dim U=\dim V\)

特别地，若 \(U=V\) 则称线性变换

由于线性映射也满足加法和乘法，故构成线性空间 \(L(V,U)\)，定义映射之间的乘法为复合

表示矩阵

设 \(e,f\) 分别为 \(V,U\) 的基，\(\lambda\) 为 \(\alpha\in V\) 的坐标，\(\mu\) 为 \(\varphi(\alpha)\) 的坐标，表示矩阵为 \(A\)，则有 \(\mu=A\lambda\)（表示矩阵与过度矩阵方向相反，表示矩阵相对正常）

具体而言，表示矩阵是 \(\varphi(e_i)\) 在 \(f\) 下坐标矩阵的转置

注意到，表示矩阵是 \(L(V,U)\) 到 \(M_{m\times n}\) 的一一对应

相似：\(A,B\) 相似当且仅当存在 \(P\) 非异且 \(B=P^{-1}AP\)（同一线性变换在不同基下的过度矩阵）

像与核：\(\text{Im} \varphi,\text{Ker} \varphi\)

\(\dim \text{Im}\varphi =r(A),\dim \text{Ker}\varphi=\dim V-r(A)\)

不变子空间：\(\varphi (S)\subseteq S\)

多项式

\(\text{bezout}\)：\(fu+gv=(f,g)\)，没有重因式：$f\perp f' $

复数域上的不可约多项式都是一次，实数域上小于等于二次

本原多项式：对于整系数多项式，所有系数无公因数

定理：若整系数多项式在有理数域上可约，则在整数域上可约

\(\text{Einsenstein}\) 判别法：\(p\) 为素数，\(p|a_0,a_1,\cdots,a_{n-1},p\not | a_n,p^2\not | a_0\)，则不可约

初等对称多项式：自己体会，\(\sigma_0,\sigma_1,\cdots\)

\(\text{newton}\) 公式：将 \(s_k\) 表示为 \(\sigma\)

若 \(k\leqslant n\)，则 \(s_k-\sigma_1s_{k-1}+(-1)^{k-1}\sigma_{k-1}s_1+(-1)^{k}\sigma_k k=0\)

若 \(k\geqslant n\)，则 \(s_k-\sigma_1s_{k-1}+(-1)^n\sigma_ns_{k-n}=0\)

即当 \(k\) 较小时最后一项不一样。