ACM母函数详解 整数划分详解 java

引言

         关于什么是母函数，以及母函数的用途，为什么整数划分可以使用母函数解决,请看

         http://hi.baidu.com/syxcs123/blog/item/6f8090455f36058cb2b7dc14.html

分析

* 计算整数n的所有划分方法

* 通过母函数模板来计算整数划分，

* 多项式：(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+....)*(1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^10+....)*(1+x^3+x^6+x^9+x^12....).....(#式)

* 本函数就是展开#式多项式，得到最后多项式的系数。

* c1、c2存储多项式的系数，比如多项式1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+....,c1[0]=1,c1[1]=1,...,表示x的多少吃饭的系数为多少,如c2[3]=5,表示5x^3。

* c1保存最终的系数，c2保存当前相乘的2个多项式系数，如下：

* 第一个多项式(1+x+x^2+...)[i=1],我们直接保存在c1中，即c1[0...n]=1,

* 在上面保存的多项式(1+x+x^2+...)(1)，与下一个括号(1+x^2+x^4+...)[i=2](2)相乘,模拟手工计算:

* 一、(1)中的1[j=0]和(2)中的每项[k=0...n]相乘，得到1+x^2+x^4+...，在把x^0(1)和(1+x+x^2+...)合并同类项c1[0],即幂数相同的系数相加，

* 如x^2和(1+x+x^2+...)中的x^2系数相加，而(1+x+x^2+...)所有系数保存在c2数组中， 所以和c1[2]的值相加，

* x^4在和(1+x+x^2+...)的c1[4]值相加，这样一直下去一直到整数n，因为整数拆分方案数就是最后x^n的系数。

* 二、(1)中的x[j=1]和(2)中的每项[k=0...n]相乘，得到x+x^3+x^5+...,在按照上面方法和c1合并相同幂的项，放到c2,比如x[j=1]和k[k=0]相乘,

* 即x^1 * x^0 , 得到的系数j+k,x^k[k=0]是(2)式得到的，系数为1,但x[j=1]的系数是c1[j],所以 x^(j+k)的系数是c2中原来的系数+c1[j]的值,因x^k系数为1，忽略。

* 三、这样循环下去，即可把(1+x+x^2+...)(1)，(1+x^2+x^4+...)[i=2](2)展开，且各指数的系数放在c2中。在把c2中的系数放到c1中，计算与第三个式子展开(1+x^3+x^6+...)。

* 依次类推，一直到n

算法与代码

/**
* 整数划分模板
* @author syx
* Date 2011年7月7日 14:30:14
*/
public class GeneratingFunction {
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(doWork(6));
    }
    
    /**
     * 计算整数n的所有划分方法
     * 通过母函数模板来计算整数划分，
     * 多项式：(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+....)*(1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^10+....)*(1+x^3+x^6+x^9+x^12....).....(#式)
     * 本函数就是展开#式多项式，得到最后多项式的系数。
     * c1、c2存储多项式的系数，比如多项式1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+....,c1[0]=1,c1[1]=1,...,表示x的多少吃饭的系数为多少,如c2[3]=5,表示5x^3。
     * c1保存最终的系数，c2保存当前相乘的2个多项式系数，如下：
     * 第一个多项式(1+x+x^2+...)[i=1],我们直接保存在c1中，即c1[0...n]=1,
     * 在上面保存的多项式(1+x+x^2+...)(1)，与下一个括号(1+x^2+x^4+...)[i=2](2)相乘,模拟手工计算:
     * 一、(1)中的1[j=0]和(2)中的每项[k=0...n]相乘，得到1+x^2+x^4+...，在把x^0(1)和(1+x+x^2+...)合并同类项c1[0],即幂数相同的系数相加，
     * 如x^2和(1+x+x^2+...)中的x^2系数相加，而(1+x+x^2+...)所有系数保存在c2数组中， 所以和c1[2]的值相加，
     * x^4在和(1+x+x^2+...)的c1[4]值相加，这样一直下去一直到整数n，因为整数拆分方案数就是最后x^n的系数。
     * 二、(1)中的x[j=1]和(2)中的每项[k=0...n]相乘，得到x+x^3+x^5+...,在按照上面方法和c1合并相同幂的项，放到c2,比如x[j=1]和k[k=0]相乘,
     * 即x^1 * x^0 , 得到的系数j+k,x^k[k=0]是(2)式得到的，系数为1,但x[j=1]的系数是c1[j],所以 x^(j+k)的系数是c2中原来的系数+c1[j]的值,因x^k系数为1，忽略。
     * 三、这样循环下去，即可把(1+x+x^2+...)(1)，(1+x^2+x^4+...)[i=2](2)展开，且各指数的系数放在c2中。在把c2中的系数放到c1中，计算与第三个式子展开(1+x^3+x^6+...)，
     * 依次类推，一直到n
     * @param n 待划分的数
     * @return 划分方案数
     */
    public static int doWork(int n) {
        int[] c1 = new int[n+1];
        int[] c2 = new int[n+1];
        for(int i=0; i<=n; i+=1) {
            c1[i] = 1;
            c2[i] = 0;
        }
        for(int i=2; i<=n; i+=1) {
            for(int j=0; j<=n; j+=1) {
                for(int k=0; k+j<=n; k+=i) {
                    c2[j+k] += c1[j];
                }
            }
            for(int j=0; j<=n; j+=1) {
                c1[j] = c2[j];
                c2[j] = 0;
            }
        }
        return c1[n];
    }
}