Buchi 游戏、Buchi 自动机和 LTL

HKUST COMP4901X 课程笔记

Buchi 游戏

定义 Game Graph 为 \(G = (V, \ V_1, \ V_2, \ E )\)，\(G(V, E)\) 是一张图，\(V_1\)是属于玩家 1 的图上结点，\(V_2\) 是属于玩家 2 的图上结点。

定义 玩家 i 的游戏目标为 \(O_i\)

定义 策略指当玩家 i 在某个属于他的结点上选择走哪条边的方法，策略可以考虑以前的历史状态，为 \(\sigma_i = V^* \times V_i \rightarrow V\)。当策略和初始结点确定后，游戏能够得到一个结果 \(\text{Outcome}(v, \sigma_1, \sigma_2)\)，而且 \(\sigma_1\) 是一个必胜策略当且仅当 $ \forall \sigma_2, \ \text{Outcome}(v, \sigma_1, \sigma_2) \in O_1$

定义 定义某个目标的胜利状态集合 \(\text{Win}(O_i) \subseteq V\)；游戏是确定的指 \(\text{Win}(O_1) = \complement_{V}{\text{Win}(O_2)}\)

定义 游戏是零和的当且仅当 \(O_1 = \neg{O_2}\)

定义 一条无限路径 \(\rho = (\rho_0, \rho_1, ...)\)，路径中访问过的结点的集合 \(\text{vis}(\rho) = \{v \in V | \exists i, \ \rho_i = v \}\)，路径中访问无穷次的结点的集合 \(\text{inf}(\rho) = \{ v \in V | \nexists i, \ v \notin \rho[i:] \}\)

定义 定义一个结点集合 \(T \subseteq V\)；\(\text{reach}(T)\) 是所有能够访问 \(T\) 中的点至少一次的路径的集合，\(\text{reach}(T) = \{\rho | \text{vis}(\rho) \cap T \neq \emptyset\}\)

定义 \(\text{safe}(T)\) 是所有只访问 \(T\) 中的点的路径的集合，\(\text{safe}(T) = \{\rho | \text{vis}(\rho) \subseteq T\}\)

定义 \(\text{Buchi}(T)\) 是访问 \(T\) 中的一点无限次的集合，\(\text{Buchi}(T) = \{\rho | \text{inf}(\rho) \cap T \neq \emptyset \}\)

定义 \(\text{coBuchi}(T)\) 是仅访问 \(T\) 中的点无限次的集合，\(\text{Buchi}(T) = \{\rho | \text{inf}(\rho) \subseteq T \}\)

定义 定义优先级函数 \(p : V \rightarrow \{0, 1, ...\}\)，那么奇偶性集合\(\text{parity}(p) = \{\rho | \text{min}\{p(v) | v \in \text{inf}(\rho)\} \ \text{is even} \}\)

对于某个结点集合 \(T\)，上述的 \(\text{Buchi, coBuchi}\) 集合都是奇偶性集合的一个特例：

证明：

对于 \(\text{Buchi}\) 集合，可以定义如下的优先级函数 \(p\)：当 \(v \in T\) 时，\(p(v) = 0\)，否则 \(p(v) = 1\)

对于 \(\text{coBuchi}\) 集合，可以定义如下的优先级函数 \(p\)：当 \(v \in T\) 时，\(p(v) = 2\)，否则 \(p(v) = 1\)

（妙啊）

QED.

\(\text{reach}\) 和 \(\text{safe}\) 是对偶的，满足 \(\text{reach}(T)= \neg \text{safe}(\complement_{V}{T})\)，这对于 \(\text{Buchi}\) 和 \(\text{coBuchi}\) 类似。这个结论是 trivial 的。

策略可以分为：

• Memoryless
• Persistent
• Finite Memory

在后面的游戏中主要考虑 Memoryless 策略（已经足够构成一个必胜策略）

算法 假设玩家 1 的目标 \(O_1\) 是 \(\text{reach(T)}\)（意味着玩家 1 需要找到一条路径至少访问 \(T\) 中的某个结点一次），求 \(\text{win}(O_1)\)。

\(A_0 = T\)

\(A_1 = A_0 \cup \{v \in V_1| \text{succ(v)} \cap A_0 \neq \emptyset \} \cup \{v \in V_2 | \text{succ(v)} \subseteq A_0 \}\)

\(...\)

\(A_n = A_{n-1} \cup \{v \in V_1| \text{succ(v)} \cap A_{n-1} \neq \emptyset \} \cup \{v \in V_2 | \text{succ(v)} \subseteq A_{n-1} \}\)

\(A = A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n\)

（待续）