最大似然估计 (MLE) 最大后验概率(MAP)

1) 最大似然估计 MLE

给定一堆数据,假如我们知道它是从某一种分布中随机取出来的,可是我们并不知道这个分布具体的参,即“模型已定,参数未知”。例如,我们知道这个分布是正态分布,但是不知道均值和方差;或者是二项分布,但是不知道均值。 最大似然估计(MLE,Maximum Likelihood Estimation)就可以用来估计模型的参数。MLE的目标是找出一组参数,使得模型产生出观测数据的概率最大:

其中就是似然函数,表示在参数下出现观测数据的概率。我们假设每个观测数据是独立的,那么有

为了求导方便,一般对目标取log。 所以最优化对似然函数等同于最优化对数似然函数:

举一个抛硬币的简单例子。 现在有一个正反面不是很匀称的硬币,如果正面朝上记为H,方面朝上记为T,抛10次的结果如下:

求这个硬币正面朝上的概率有多大?

很显然这个概率是0.2。现在我们用MLE的思想去求解它。我们知道每次抛硬币都是一次二项分布,设正面朝上的概率是,那么似然函数为:

x=1表示正面朝上,x=0表示方面朝上。那么有:

求导:

令导数为0,很容易得到:

也就是0.2 。

2) 最大后验概率  MAP

以上MLE求的是找出一组能够使似然函数最大的参数,即。 现在问题稍微复杂一点点,假如这个参数有一个先验概率呢?比如说,在上面抛硬币的例子,假如我们的经验告诉我们,硬币一般都是匀称的,也就是=0.5的可能性最大,=0.2的可能性比较小,那么参数该怎么估计呢?这就是MAP要考虑的问题。 MAP优化的是一个后验概率,即给定了观测值后使概率最大:

把上式根据贝叶斯公式展开:

我们可以看出第一项就是似然函数,第二项就是参数的先验知识。取log之后就是:

回到刚才的抛硬币例子,假设参数有一个先验估计,它服从Beta分布,即:

而每次抛硬币任然服从二项分布:

那么,目标函数的导数为:

求导的第一项已经在上面MLE中给出了,第二项为:

令导数为0,求解为:

其中,表示正面朝上的次数。这里看以看出,MLE与MAP的不同之处在于,MAP的结果多了一些先验分布的参数。

 

补充知识: Beta分布

Beat分布是一种常见的先验分布,它形状由两个参数控制,定义域为[0,1]

Beta分布的最大值是x等于的时候:

所以在抛硬币中,如果先验知识是说硬币是匀称的,那么就让。 但是很显然即使它们相等,它两的值也对最终结果很有影响。它两的值越大,表示偏离匀称的可能性越小:

 

 

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posted on 2015-12-18 19:42 leavingseason 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

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