[NOI Online #2 提高组]子序列问题

Description

给定一个长度为 $n$ 的正整数序列 $A$。定义一个函数 $f(l,r)$ 表示：序列中下标在 $[l,r]$ 范围内的子区间中，不同的整数个数。

现在，请你求出 $\sum_{l=1}^n\sum_{r=l}^n (f(l,r))^2$。由于答案可能很大，请输出答案对 $10^9 +7$ 取模的结果。

Solution

挺有意思的题目。

比如一个数 $a_i$，它对哪些 $f()$ 是有贡献的呢？

比如一个集合 $S$，里面包含了两个 $x$，那么我们可以钦定第一个 $x$ 对 $f(S)$ 造成了 $1$ 的贡献，第二个 $x$ 没有贡献。

所以，当 $l\in[last_{a_i} + 1, i], r \in[i, n]$ 时，$a_i$ 被包含进了区间内，且 一定是第一个这种数，所以它会对这些 $f(l, r)$ 都造成了 $1$ 的贡献。

那么这时候我们就可以开一个平面了，横轴表示 $l$，纵轴表示 $r$，每次把横坐标在 $[last_{a_i} + 1, i]$，纵坐标在 $[i, n]$ 的这个矩形的每个元素的权值 $+1$，最后的答案就是每个元素的值的平方和。

难道是二维线段树/树套树？空间显然是不够的。

这时候难道要用扫描线了吗？当然不是，太麻烦了。

我们沿用扫描线的思想，观察一下这些矩形有什么特点。

我们发现，第 $i$ 个矩形的纵坐标下端点是 $i$，上端点是 $n$，那么我们如果使用水平扫描线的话，所有的 $-1$ 标记都是在平面的顶端，所以，我们可以忽视所有的 $-1$ 标记。

于是，题目就变成了，$i$ 次，每次先把 $[last_{a_i}+1, i]$ 的位置的权值 $+1$，然后查询全局平方和，发现这个用一维线段树是很好维护的。

具体实现细节的话，读入进来的 $a_i$ 首先要离散化，然后按照上面的进行就行了，至于线段树怎么维护区间加，全局平方和，可以考虑维护区间和 $sum$ 和区间平方和 $sum_2$，比如现在要把 $[L,R]$ 这一段都 $+v$，其实就是：

• $sum_2 \gets sum_2 + v^2 \times (R-L+1)+ 2v \times sum$（注意这个 $sum$ 是老的）；
• $sum \gets sum + v \times (R-L+1)$。

这时因为比如对于一个数字 $n$，由 $n^2 \to (n+v)^2$ 其实就是 $n^2 \to n^2 + v^2 + 2nv$，也就是加上了 $v^2 + 2nv$。

代码就很好写了，注意卡常。