总结「中国剩余定理」
搬运自远古的洛咕博客，故文风与现在有很大不同
CRT 中国剩余定理
中国剩余定理 (Chinese Remainder Theorem, CRT) 可求解如下形式的一元线性同余方程组（其中 \(n_1, n_2, \cdots, n_k\) 两两互质）：
\[\begin{cases}
x &\equiv a_1 \pmod {n_1} \\
x &\equiv a_2 \pmod {n_2} \\
&\vdots \\
x &\equiv a_k \pmod {n_k} \\
\end{cases}
\]
算法流程
- 计算所有模数的积 \(n\) ；
- 对于第 \(i\) 个方程：
- 计算 \(m_i=\frac{n}{n_i}\) ；
- 计算 \(m_i\) 在模 \(n_i\) 意义下的逆元 \(m_i^{-1}\) ；
- 计算 \(c_i=m_im_i^{-1}\) （ 不要对 \(n_i\) 取模 ）。
- 方程组的唯一解为： \(a=\sum_{i=1}^k a_ic_i \pmod n\) 。
证明：
对于任意一组同余方程 \(i,j\) ，其中 \(i\not=j\) 。因为 \(m_i\) 中含有 \(n_j\) ，所以有：
\[a_ic_i\equiv a_im_im_i^{-1}\equiv 0\pmod {n_j}
\]
另外有：
\[a_ic_i\equiv a_i\pmod {n_i}
\]
则对于任意同余方程 \(i\) ，有：
\[\sum_{i=1}^ka_ic_i\equiv a_i\pmod {n_i}
\]
证毕。
模版：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define lxl long long
using namespace std;
lxl a[15],b[15];
int n;
inline lxl exgcd(lxl a,lxl b,lxl &x,lxl &y)
{
if(!b) {x=1,y=0;return a;}
lxl k=exgcd(b,a%b,x,y);
lxl z=x;x=y,y=z-a/b*y;
return k;
}
inline lxl china()
{
lxl M=1,ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
M*=a[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
lxl tx,y,Mi=M/a[i];
exgcd(Mi,a[i],tx,y);
ans=(ans+b[i]*Mi*tx)%M;
}
return (ans+M)%M;
}
int main()
{
//freopen("P1495.in","r",stdin);
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);
printf("%lld\n",china());
return 0;
}
应用
某些计数问题或数论问题出于加长代码、增加难度、或者是一些其他不可告人的原因，给出的模数： 不是质数 ！
但是对其质因数分解会发现它没有平方因子，也就是该模数是由一些不重复的质数相乘得到。
那么我们可以分别对这些模数进行计算，最后用 CRT 合并答案。
exCRT 扩展中国剩余定理
说是中国剩余定理，但是好像和CRT关系不大。
扩展中国剩余定理就是合并线性同余方程式，解决 \(m_i\) 不互素的情况。
先考虑两个同余方程式：
\[\begin{cases}
x \equiv a_1 ({\rm {mod}} \ b_1) \\
x \equiv a_2 ({\rm {mod}} \ b_2)
\end{cases}
\implies\\
\begin{cases}
x = a_1 +k_1 * b_1 \\
x \equiv a_2 + k_2 * b_2
\end{cases}
\implies\\
a_1 +k_1 * b_1=a_2 + k_2 * b_2
\implies\\
k_1 * b_1+k_2 * b_2=a_2-a_1
\]
如果不定方程有解，使用扩展欧几里德算法求出一个 \(k_1\) 的特解 \(k_0\)，则 \(x\) 的一个特解 \(x_0=a_1+k_0 * b_1\)。通解
\[k_i=k_0+u* \frac {b_2}{{\rm{gcd}}(b_1,b_2)},u \in {\rm{Z}}
\]
则：
\[\begin{aligned}
x&=k_i * b_1 +a_1\\
&=u * \frac {b_1b_2}{{\rm{gcd}}(b_1,b_2)}+a_1+k_0 * b_1\\
&=u * {\rm {lcm}}(b_1,b_2)+x_0\\
x& \equiv x_0 \ ({\rm {mod}} \ {\rm {lcm}} (b_1,b_2))\\
\end{aligned}
\]
于是就把两个同余方程式合并成了一个。同理，将所有方程式按此方法合并，答案为最后的 \(x_0\)。
模版：
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define lxl long long
#define maxn 100005
using namespace std;
inline lxl times(lxl a,lxl b,lxl mod)
{
lxl ans=0;
while(b>0)
{
if(b%2) ans=(ans+a)%mod;
a=(a+a)%mod;
b>>=1;
}
return ans;
}
inline lxl exgcd(lxl a,lxl b,lxl &x,lxl &y)
{
if(!b) {x=1,y=0;return a;}
lxl k=exgcd(b,a%b,x,y);
lxl z=x;x=y,y=z-a/b*y;
return k;
}
int n;
lxl a[maxn],b[maxn];
int main()
{
//freopen("P4777.in","r",stdin);
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);
lxl M=a[1],ans=b[1];
for(int i=2;i<=n;i++)
{
lxl a1=M,a2=a[i],bi=(b[i]-ans%a2+a2)%a2,x,y;
lxl g=exgcd(a1,a2,x,y);
a2/=g,bi/=g;
x=times(x,bi,a2);
ans+=M*x;
M*=a[i]/g;
ans=(ans+M)%M;
}
printf("%lld\n",(ans+M)%M);
return 0;
}
