行列式

1. det($\mathbf{I}$) = 1

2. 交换行列式的行，行列式符号变换。 即，置换矩阵 det($\mathbf{P}$)=1 或 -1

   并且，行列式的置换是区分奇偶的，奇数次变换只能通过奇数次变换等价，而不能通过偶数次变换得到。

3. a. 一个数乘以行列式的一行，结果等于乘以行列式的值。

      $\begin{vmatrix} ta & tb \\ c & d \end{vmatrix}$= t $\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}$

    b.det(A+B) $\ne$ det(a) +det(B)，但是，行列式的每一行是线性的，即

      $\begin{vmatrix} a+a' & b+b' \\ c & d \end{vmatrix}$= $\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}$ + $\begin{vmatrix}a' & b' \\ c & d\end{vmatrix}$

4. 有两行相等的行列式为0

5. 含有行为0的行列式为0

6. 一行减去另一行的倍数，行列式不变。

   $\begin{vmatrix}a & b \\ c-la & d-lb\end{vmatrix}$ = $\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}$ + $\begin{vmatrix}a & b \\ -la & -lb\end{vmatrix}$ =$\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}$

7. 三角行列式的值等于主元素的乘积

8. det($A$) = 0， 当且仅当 $A$ 是奇异的

9. det($A\cdot B$) = det($A$)det($B$)

10. det($A'$) = det($A$)

     证明：  另 $A = L U$

                $|A'| = |U'L'| = |U'||L|=|U||L|=|A|$