信号与系统基础

1 信号与系统基础

1.1 引论

• 消息： 待发送的一种双方事先约定的方式组成的符号，如语言文字图像数据等

• 信息： 所接受到的消息中获取的未知内容

• 信号： 一种物理量（电、光、声）的变化，信息的载体

• 电信号： 与消息相对应的变化的电流或电压，或者电容上的电荷、电感中的磁通等等。

• 系统： 一组相互有联系的事物并具有特定功能的整体。

• 系统可以分为物理系统与非物理系统（电路系统or生物系统）

1.2 信号分类与典型信号

• 确知信号与随机信号
• 周期信号与非周期信号
• 连续时间信号与离散时间的信号
• 一维信号与多维信号

1. 典型信号
   1. 指数信号 \(f(t) = Ke^{at}\)
   2. 正弦信号 \(f(t) = Ksin(wt+a)\)
   3. 复指数信号 \(f(t) = K(e^{st})\)
   4. 抽样函数 \(Sa(t) = \frac{sint}{t}\) 全域积分为\(\pi\)

1.3 信号的运算

• 加法
• 乘法数乘

1. 翻转f(-t)
2. 时移f(t+a)
3. 尺度缩放f(Kt)

• 微分 突出变换部分
• 积分 使信号的突变部分变得平滑，削弱毛刺（噪声）的影响

1.4 奇异信号

函数本身有不连续点或者导数与积分具有不连续点的函数，称为奇异函数或者奇异信号

1. 单位斜变信号 \(R(t) = t, t \ge 0\)
2. 单位阶跃信号 \(u(t) = 1, t \gt 0\)
3. 单位冲激信号 \(\delta(t) = 0, t \ne 0, \int_{-\infty}^{\infty}\delta (t)dt = 1\)

冲激函数的性质：

1. 取样性质:
   1. \(f(t)\delta(t) = f(0)\delta(t)\)
   2. \(\int f(t)\delta(t)dt = f(0)\)
   3. \(\int f(t)\delta(t-t_0)dt = f(t_0)\)
2. 偶函数
3. 积分为u(t)

冲击偶函数：\(\delta'(t)\)

1. 奇函数
2. \(\int f(t)\delta'(t-t_0)dt = -f'(t_0)\)
3. \(\int \delta'(t-t_0)dt = 0\)

1.5 信号的分解

奇偶分解：

• \(f_e(t) = 0.5(f(t)+f(-t))\)
• \(f_o(t) = 0.5(f(t)-f(-t))\)

脉冲分解

正交分解

如果用正交函数集表示一个信号，那么，组成信号的各分量就是相互正交的。

例如，各次谐波的正弦与余弦信号构成的三角函数集就是正交函数集。任何周期信号f(t)只要满足狄里赫利条件，就可以由这些三角函数的线性组合来表示，称为f(t)的三角形式的傅里叶级数。同理， f(t)还可以展开成指数形式的傅里叶级数。

1.6 系统模型及分类

• 系统的定义：由若干个相互关联又相互作用的事物组合而成，具有某种或者某些特定功能的整体，如通信系统、雷达系统等
• 系统总是对施加于它的信号也称激励，做出响应，产生输出信号，也称响应，系统的功能就体现在什么样的输入产生什么样的输出信号

系统的分类：

• 连续时间系统于离散时间系统 数学模型为微分方程与差分方程
• 无记忆系统于有记忆系统 数学模型为代数方程与（微分方程差分方程）
• 集总参数系统于分布参数系统 数学模型为常微分方程与偏微分方程
• 线性系统与非线性系统 线性就是均匀叠加
• 时变系统与时不变系统 系统的参数是否随着时间而变化
• 可逆系统与不可逆系统 不同激励能否产生相同的响应
• 单输入输出系统与多输入多输出系统

1.7 线性时不变系统

线性：

1. 叠加性质: \(x_1(t) + x_2(t) \rightarrow y_1(t) + y_2(t)\)
2. 齐次性： \(ax(t) \rightarrow ay(t)\)

时不变：
\(x(t-t_0) \rightarrow y(t-t_0)\)

微分性

积分性

因果性