Polya计数定理

Polya计数定理

通常用于解决一类本质不同的染色方案数问题。设所有染色方案的集合为\(S\)，在\(S\)上定义一个关系\(R\)，若\(aRb\)​则染色方案\(a\)和\(b\)本质相同。关系\(R\)显然为等价关系。

对于某些序列染色问题，其对应的等价关系\(R\)​​​​可以用置换​表示。即对于置换\(f\)​​，染色方案\(a\)​​和\(f(a)\)​​是本质相同的。由于\(R\)​​为等价关系，所有这样的置换\(F\)​​构成一个置换群。

求本质不同的染色方案数即是求关系\(R\)上的等价类个数。设置换群为\(P\)，Polya定理表述如下：

\[Ans=\frac{\sum_{f\in P}C(f)}{|P|} \]

其中，\(C(f)\)表示置换\(f\)的不动点个数，即满足\(a=f(a)\)的\(a\)​的个数。

进一步思考如何计算\(C(f)\)。对于置换\(f\)，将其表示成\(k\)个环。\(C(f)\)即是要求单个环上点颜色相同的染色方案数。如果置换群\(P\)是循环位移置换群，k次循环位移置换\(f\)对应的环应为\(i\to i+k\to i+2k\dots(mod \ n)\)。易知每个环的大小为\(n/gcd(k,n)\)，环数量为\(gcd(k,n)\)。所有环为：\((0,d,2d,\dots),(1,1+d,1+2d\dots )\dots\)，其中\(d=gcd(n,k)\)，环内的点不一定按所给顺序排列。

根据以上性质可解题。