欧拉序&树上莫队

树上莫队

方法是用欧拉序转化为序列莫队。欧拉序的具体做法：模拟dfs的过程，把每条边当成两条有向边（根结点上面再加两条边），经过这条边时记录当前边深度大的那个点。每个点在序列中会出现两次，出现的下标记为\(s[i]\)和\(t[i]\)。伪代码如下：

void dfs(int x,int fa)
{
  id.push_back(x);
  for(auto u:son[x])
    dfs(u);
  id.push_back(x);
}

对于要查询路径的两个点\(x,y\ (dep_x<dep_y)\)，分两类讨论：

若\(lca(x,y)=x\)，即\(x,y\)在一条链上。此时取\(L=s[x],R=s[y]\)，则\([L,R]\)中的出现奇次的点包括了由\(x\)到\(y\)路径上的所有点。若按边统计，应特判删除\(x\)。

若\(lca(x,y)\neq x\)，即\(x,y\)位于不同子树内。此时取\(L=t[x],R=s[y]\)（可能要交换\(x,y\)），则\([L,R]\)中出现奇次的点包括\(x\)到\(y\)路径上除了\(lca(x,y)\)外的所有点。若按点统计，应特判加入\(lca(x,y)\)。

PS：由上面的讨论易知，此种欧拉序不能用于rmq求lca。rmq求lca的欧拉序稍有不同：模拟dfs的过程，把每条边当成两条有向边（根结点上面再加两条边），经过这条边时记录当前边的to节点。每个点在欧拉序中出现了\(deg[i]\)次（显然不能用于树上莫队）。\(pos[i]\)为\(i\)号点在序列中第一次出现的位置，则\([pos[x],pos[y]]\)即可保证包括\(x,y\)路径上的所有点。伪代码如下：

void dfs(int x,int fa)
{
  id.push_back(x);
  for(auto u:son[x])
    dfs(u),id.push_back(x);
}