数字电路与逻辑设计 第一章 逻辑代数基础

1.1 内容提要

1.1.1 数制

如二进制 , 八进制 , 十六进制等

1.1.2 逻辑代数的基本运算

与或非 , 略

1.1.3 门电路

这里需要注意 , 在某些教材里门都用方框表示 , 里面加上某些特定符号

其中与门为& , 或门为\(\ge 1\) , 非门为\(1\)

而取反也是加一个小圆圈

对于与或非门之类 , 将方框左右拆解得到多个方框再加上其对应符号

1.1.4 常用公式

$ A + A \cdot B = A$

\(A + \overline A \cdot B = A + B\)

\(A \cdot B + \overline A \cdot C = A \cdot B + \overline A \cdot C + B \cdot C\)

\(A \cdot B + \overline A \cdot C = A \cdot B + \overline A \cdot C + B \cdot C \cdot D\)

1.1.5 三个规则

代入规则 : 替换仍成立
反演规则 : $\cdot $ 和 \(+\)替换 , \(0\)和\(1\)替换 , \(A\)和\(\overline A\) 替换 , 得到反函数

对偶规则 : 将\(F\)种\(\cdot\)和\(+\)替换 , \(0\)和\(1\)替换得到\(F^{\prime}\)

对偶和反演不同在于 , 对偶不换变量 , 而反演换变量(都"反"了 , 所以都换掉 ; 而对偶只是某种对称 , 变量就不换了)

1.1.6 描述方法

表达式 , 真值表 , 卡诺图 , 逻辑图(RTL)

1.1.7 其他

无关项 , 最大项最小项等略

稍微陌生的是 最简与或表达式和最简或与表达式
前者满足与项最少 , 与项中变量个数最少
后者满足或项最少 , 或项中变量个数最少
二者都必须是标准的 , 即最小项相或或者最大项相与
简记为 , 谁在前 , 谁最少

1.2 重点难点

1.2.1 逻辑函数不同描述方式之间的转换

1. 表达式 \(\leftarrow\) 真值表
   代入各个取值计算即可

2. 真值表 \(\leftarrow\) 表达式
   获取最小项的或表达式 , 或者最大项的与表达式

3. 真值表 \(\leftarrow\) 卡诺图
   记住卡诺图的填充方法 , 按照格雷码进行填充即可 , 然后把对应的格打上\(1\)

4. 表达式 \(\leftarrow\) 卡诺图
   先转换为一般与或式 , 然后对每个或项为\(1\)进行考察

5. 卡诺图 \(\leftarrow\) 真值表\标准与或表达式
   真值表就对着图为\(1\)处填写即可
   转标准与或式时画大小为\(2^n\)的矩形(别忘记四边和无关项)

1.2.2 逻辑函数的公式法化简

1. 并项法 : \(A\cdot B + \overline A \cdot B = B\)
2. 吸收法 : \(A + A\cdot B = A\)
3. 消去法 : \(A + \overline A \cdot B = A + B\)
4. 配项相消法 : \(A \cdot B + \overline A \cdot C = A \cdot B + \overline A \cdot C + B \overline C\)

1.2.3 卡诺图法

略

1.3 典型例题

Q1 : 求10111.11对应的BCD8421码和余三码

\(10111.11(2) \leftarrow 23.75(10) \leftarrow 00100011.01110101(8421)\)
\(23.75(10) \leftarrow 01010110.10101000(余三)\)
需要知道 , 余三码本质上也是BCD码 , 即用二进制形式来表示十进制数 , 所以也要先换成十进制

Q2 : 求\(F(A,B,C,D) = A + B \overline{C\cdot D + \overline{A\cdot D}}\)的对偶函数和反函数

这个题一看就是考察对偶函数和反函数的区别

\(\overline F = \overline A \cdot (\overline B + C\cdot D + \overline{A \cdot D})\)

\(F^{\prime} = A \cdot ( B + \overline{(C + D )\cdot \overline{A + D}})\)

对偶其实比反演简单 , 因为不需要考虑长长的非号 , 只需要对每个\(1\)或者\(0\)还有符号取反就行了

Q3 : 写出\(F(A,B,C) = \overline{(A\cdot \overline B + C) \cdot \overline{B\cdot C}}\)的标准与或式和标准或与式

标准与或式 :

\[F = \overline{A \cdot \overline B + C} + B \cdot C \\\]

\[= \overline{A\cdot \overline B} \cdot \overline C + B \cdot C \\ \]

\[= (\overline A + B )\cdot \overline C + B \cdot C \\ \]

\[= \overline A \cdot \overline C + B \cdot \overline C + B \cdot C \\ \]

\[= \overline A \cdot B \cdot \overline C + \overline A \cdot \overline B \cdot \overline C + A \cdot B \cdot \overline C + A \cdot B \cdot C + \overline A \cdot B \cdot C \]

\[= \sum{m(0,2,3,6,7)} \]

标准或与式 :
考虑从上面来看 , 大概是 \(\sum{M(1,4,5)}\)
即 :

\[F = (A + B + \overline C) \cdot (\overline A + B + C) \cdot (\overline A + B + \overline C) \]

本题也可以根据真值表推

Q4 : 已知\(F(A,B,C) = \overline{(\overline A + B)\cdot (A + \overline C)} + A\cdot B \cdot \overline C\) , 首先化简为与或 , 然后卡诺图化简为最简与或

简单 , 略

Q5 : \(F = \overline A \cdot \overline B \cdot \overline C \cdot \overline D + \overline A \cdot \overline B \cdot \overline C \cdot D + \overline A \cdot \overline B \cdot C \cdot D + \overline A \cdot B \cdot \overline C \cdot D + A \cdot \overline B \cdot \overline C \cdot D\) , 公式法化简

这题看着就很麻烦 ,但是发现是有规律的 , 每个项都大差不差

可以观察到 \(\overline A \cdot \overline B \cdot \overline B \cdot D\)和其他四项都是逻辑相邻项 , 所以用 \(A + A + A = A\) , 添加两个\(A\) , 容易得到 :
\(F = \overline A \cdot \overline B \cdot \overline C + \overline A \cdot \overline B \cdot D + \overline A \cdot \overline C \cdot D + \overline B \cdot \overline C \cdot D\)
在变量达到3-4个时 , 可以多考虑这种拼凑办法

易错 : 如卡诺图画\(A,B,C,D\)的 , 那么横着为\(A,B\) , 竖着为\(C,D\) , 但是\(m_1\)为\(0001\) , 是\(A = 0,B=0,C=0,D=1\) , 即竖着的才是小位