转：Vandermonde 矩陣的逆矩陣公式

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考慮下列 $n\times n$ 階 Vandermonde 矩陣

$\begin{bmatrix} 1&1&\cdots&1\\ x_1&x_2&\cdots&x_n\\ x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1} \end{bmatrix}$ ，

記為 $V_n(x_1,\ldots,x_n)$ 或 $V=[v_{ij}]$ ，其中 $v_{ij}=x_j^{i-1}$ 。Vandermonde 矩陣 $V$ 有一個簡單的行列式公式，如下 (見“特殊矩陣 (8)：Vandermonde 矩陣”)：

$\displaystyle \det V=\prod_{1\le j<i\le n}(x_i-x_j)$ 。

當 $x_1,\ldots,x_n$ 互異時， $\det V\neq 0$ ， $V$ 是可逆矩陣。本文利用伴隨 (adjugate) 矩陣及行列式公式推導 Vandermonde 矩陣 $V$ 的逆矩陣。

令 $\mathrm{adj}V$ 為 Vandermonde 矩陣 $V$ 的伴隨矩陣，其 $(i,j)$ 元即為 $v_{ji}$ 的餘因子 (cofactor) $c_{ji}$ ，如下 (見“行列式的運算公式與性質”)：

$c_{ji}=(-1)^{i+j}\det\tilde{V}_{ji}$ ，

其中 $\tilde{V}_{ji}$ 代表移除 $V$ 的第 $j$ 列和第 $i$ 行後得到的 $(n-1)\times(n-1)$ 階子陣。方陣 $V$ 與其伴隨矩陣 $\mathrm{adj}V$ 具有下列關係：

$V(\mathrm{adj}V)=(\det V)I$ 。

若 $V$ 可逆，即得

$\displaystyle V^{-1}=\frac{1}{\det V}\mathrm{adj}V$ 。

以 $n=3$ 為例，

$\begin{aligned} \mathrm{adj}V&=\begin{bmatrix} \begin{vmatrix} x_2&x_3\\ x_2^2&x_3^2 \end{vmatrix}&-\begin{vmatrix} 1&1\\ x_2^2&x_3^2 \end{vmatrix}&\begin{vmatrix} 1&1\\ x_2&x_3 \end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix} x_1&x_3\\ x_1^2&x_3^2 \end{vmatrix}&\begin{vmatrix} 1&1\\ x_1^2&x_3^2 \end{vmatrix}&-\begin{vmatrix} 1&1\\ x_1&x_3 \end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix} x_1&x_2\\ x_1^2&x_2^2 \end{vmatrix}&-\begin{vmatrix} 1&1\\ x_1^2&x_2^2 \end{vmatrix}&\begin{vmatrix} 1&1\\ x_1&x_2 \end{vmatrix} \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} x_2x_3(x_3-x_2)&-(x_3^2-x_2^2)&x_3-x_2\\ -x_1x_3(x_3-x_1)&x_3^2-x_1^2&-(x_3-x_1)\\ x_1x_2(x_2-x_1)&-(x_2^2-x_1^2)&x_2-x_1 \end{bmatrix},\end{aligned}$

且 $\det V=(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_2-x_1)$ ，也就得到逆矩陣

$V^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{x_2x_3}{(x_2-x_1)(x_3-x_1)}&-\frac{x_2+x_3}{(x_2-x_1)(x_3-x_1)}&\frac{1}{(x_2-x_1)(x_3-x_1)}\\[0.3em] \frac{x_1x_3}{(x_1-x_2)(x_3-x_2)}&-\frac{x_1+x_3}{(x_1-x_2)(x_3-x_2)}&\frac{1}{(x_1-x_2)(x_3-x_2)}\\[0.3em] \frac{x_1x_2}{(x_1-x_3)(x_2-x_3)}&-\frac{x_1+x_2}{(x_1-x_3)(x_2-x_3)}&\frac{1}{(x_1-x_3)(x_2-x_3)} \end{bmatrix}$ 。

運用同樣方法也可以導出 $n\times n$ 階 Vandermonde 矩陣的逆矩陣。下面我們將移除 $V$ 的第 $j$ 列和第 $i$ 行所得的 $(n-1)\times (n-1)$ 階子陣表示為

$\tilde{V}_{ji}=\begin{bmatrix} 1&1&\cdots&1&1&\cdots&1\\ x_1&x_2&\cdots&x_{i-1}&x_{i+1}&\cdots&x_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ x_1^{j-2}&x_2^{j-2}&\cdots&x_{i-1}^{j-2}&x_{i+1}^{j-2}&\cdots&x_n^{j-2}\\ x_1^{j}&x_2^{j}&\cdots&x_{i-1}^{j}&x_{i+1}^{j}&\cdots&x_n^{j}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_{i-1}^{n-1}&x_{i+1}^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1} \end{bmatrix}=W^{(j-1)}_{n-1}(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n)$ 。

對於 $i,j=1,\ldots,n$ ，

$c_{ji}=(-1)^{i+j}\det W^{(j-1)}_{n-1}(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n)$ ，

故逆矩陣的各元為

$\displaystyle (V^{-1})_{ij}=\frac{c_{ji}}{\det V}=(-1)^{i+j}\frac{\det W^{(j-1)}_{n-1}(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n)}{\det V}$ 。

解出 $V^{-1}$ 的首要工作在於設法化簡 $n-1$ 階行列式 $\det W^{(j-1)}_{n-1}(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n)$ 和 $n$ 階行列式 $\det V$ 。注意， $W^{(j-1)}_{n-1}(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n)$ 並非 $n-1$ 階 Vandermonde 矩陣。觀察發現 $W^{(j-1)}_{n-1}(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n)$ 和 $V_{n-1}(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n)$ 的主要差別在於前者不含 $(x_1^{j-1},\ldots,x_{i-1}^{j-1},x_{i+1}^{j-1},\ldots,x_n^{j-1})$ ，而後者則缺 $(x_1^{n-1},\ldots,x_{i-1}^{n-1},x_{i+1}^{n-1},\ldots,x_n^{n-1})$ 。揭開這兩個矩陣的行列式關係即可消去 $(V^{-1})_{ij}$ 的分子和分母所含的行列式。

為了方便，下面我們將長度為 $n-1$ 的序列 $(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n)$ 替換為 $(z_1,\ldots,z_{n-1})$ 。考慮 $n\times n$ 階 Vandermonde 矩陣 $V_{n}(z_1,\ldots,z_{n-1},t)$ ，也就有

$\det V_{n}(z_1,\ldots,z_{n-1},t)=\begin{vmatrix} 1&1&\cdots&1&1\\ z_1&z_2&\cdots&z_{n-1}&t\\ z_1^2&z_2^2&\cdots&z_{n-1}^2&t^2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ z_1^{n-1}&z_2^{n-1}&\cdots&z_{n-1}^{n-1}&t^{n-1} \end{vmatrix}$ 。

利用 Vandermonde 矩陣的行列式公式，區分兩種情況： $i\le n-1$ 和 $i=n$ ，立得

$\displaystyle\begin{aligned} \det V_{n}(z_1,\ldots,z_{n-1},t)&=\left(\prod_{1\le j<i\le n-1}(z_i-z_j)\right)\cdot\prod_{1\le j\le n-1}(t-z_j)\\ &=\det V_{n-1}(z_1,\ldots,z_{n-1})\cdot\prod_{1\le j\le n-1}(t-z_j),\end{aligned}$

以下稱為第一表達式。另一方面，針對 $V_{n}(z_1,\ldots,z_{n-1},t)$ 的最末行計算 Laplace 展開式 (見“行列式的運算公式與性質”)，可得

$\begin{aligned} \det V_{n}(z_1,\ldots,z_{n-1},t)&=\begin{vmatrix} 1&1&\cdots&1\\ z_1&z_2&\cdots&z_{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ z_1^{n-2}&z_2^{n-2}&\cdots&z_{n-1}^{n-2} \end{vmatrix}t^{n-1}-\begin{vmatrix} 1&1&\cdots&1\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ z_1^{n-3}&z_2^{n-3}&\cdots&z_{n-1}^{n-3}\\ z_1^{n-1}&z_2^{n-1}&\cdots&z_{n-1}^{n-1} \end{vmatrix}t^{n-2}\\ &~~+\cdots+(-1)^{n+1}\begin{vmatrix} z_1&z_2&\cdots&z_{n-1}\\ z_1^2&z_2^2&\cdots&z_{n-1}^2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ z_1^{n-1}&z_2^{n-1}&\cdots&z_{n-1}^{n-1} \end{vmatrix}\\ &=\det W_{n-1}^{(n-1)}(z_1,\ldots,z_{n-1})\cdot t^{n-1}-\det W_{n-1}^{(n-2)}(z_1,\ldots,z_{n-1})\cdot t^{n-2}\\ &~~+\cdots+(-1)^{n-1}\det W_{n-1}^{(0)}(z_1,\ldots,z_{n-1}),\end{aligned}$

此為第二表達式。利用基本對稱函數 (elementary symmetric function，見“特徵多項式預藏的訊息”)：

$\displaystyle \begin{aligned} S_0(z_1,\ldots,z_{n-1})&=1\\ S_1(z_1,\ldots,z_{n-1})&=z_1+\cdots+z_{n-1}\\ S_2(z_1,\ldots,z_{n-1})&=\sum_{1\le p<q\le n-1}z_pz_q\\ \vdots&\\ S_k(z_1,\ldots,z_{n-1})&=\sum_{1\le p_1<p_2<\cdots<p_k\le n-1}z_{p_1}z_{p_2}\cdots z_{p_k}\\ \vdots&\\ S_{n-1}(z_1,\ldots,z_{n-1})&=z_1\cdots z_{n-1},\end{aligned}$

不難驗證

$\displaystyle\begin{aligned} \prod_{1\le j\le n-1}(t-z_j)&=S_0(z_1,\ldots,z_{n-1})t^{n-1}-S_1(z_1,\ldots,z_{n-1})t^{n-2}\\ &~~+\cdots+(-1)^{n-1}S_{n-1}(z_1,\ldots,z_{n-1}),\end{aligned}$

將上式代入第一表達式，再與第二表達式比較各項係數，可推得

$\det W^{(k)}_{n-1}(z_1,\ldots,z_{n-1})=\det V_{n-1}(z_1,\ldots,z_{n-1})\cdot S_{n-1-k}(z_1,\ldots,z_{n-1})$ ，

其中 $k=0,1,\ldots,n-1$ 。

利用上面得到的等式，以 $j-1$ 取代 $k$ ， $(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n)$ 替換 $(z_1,\ldots,z_{n-1})$ ，餘因子 $c_{ji}$ 可表示為

$c_{ji}=(-1)^{i+j}\det V_{n-1}(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n)\cdot S_{n-j}(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n)$ ，

再化簡 $V^{-1}$ ，如下：

$\displaystyle\begin{aligned} (V^{-1})_{ij}&=(-1)^{i+j}\frac{\det V_{n-1}(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n)}{\det V_n(x_1,\ldots,x_n)}S_{n-j}(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n)\\ &=(-1)^{i+j}{S_{n-j}(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n)}\bigg/\left(\prod_{1\le k\le i-1}(x_i-x_k)\prod_{i+1\le k\le n}(x_k-x_i)\right)\\ &=(-1)^{j+1}{S_{n-j}(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n)}\bigg/\prod_{1\le k\le n\atop k\neq i}(x_k-x_i)\\ &=(-1)^{j+1}{\sum_{1\le p_1<\cdots<p_{n-j}\le n\atop p_1,\ldots,p_{n-j}\neq i}x_{p_1}x_{p_2}\cdots x_{p_{n-j}}}\bigg/{\prod_{1\le k\le n\atop k\neq i}(x_k-x_i)},\end{aligned}$

最後一個步驟寫出基本對稱函數的完整表達式。

转自：https://ccjou.wordpress.com/2012/06/13/vandermonde-%E7%9F%A9%E9%99%A3%E7%9A%84%E9%80%86%E7%9F%A9%E9%99%A3%E5%85%AC%E5%BC%8F/

Vandermonde 矩陣的逆矩陣公式

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