理解浮点数的基数与范围、精度的关系

前提：两种浮点数长度相同、格式相同，前者基数大、后者基数小。

基数与精度的关系

首先，把浮点数的基数理解为，阶码每变化一位，尾数小数点所需要移动的位数。

并且要知道，浮点数的精度是指相邻两个浮点数之间的最小差值。

在日常生活情况下，我们会把精度认为是小数位越多，精度就越高，然而浮点数的精度却不是这么理解的。

所以，当基数越大的时候，每次阶码变化一位，尾数小数点所移动的位数就越多，例如基数为2时，只需移动一位，基数为4时，需要移动两位，那么举个例子，从(0.5-0.25的差值)>(0.25-0.0625的差值)，所以基数越大，数据的离散程度越大，其精度降低

基数与范围的关系

浮点数基数对比示例（β=2 vs β=4）

假设浮点格式​（总长度8位）：

• ​符号位​（1位）：0正1负
• ​阶码​（3位）：偏移码（偏移量=3），实际指数 $ E = \text{阶码值} - 3 $
• ​尾数​（4位）：规范化为 $ 1 \leq M < \beta $

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1. β=2（二进制）

• ​阶码范围：$ E = -3 \sim 4 $
• ​尾数范围：\(1.0000_2 \leq M < 1.1111_2\)（十进制：$ 1 \leq M < 1.9375 $）
• ​数值范围：
  • ​最大正数：$ 1.9375 \times 2^4 \approx 31 $
  • ​最小正数：$ 1.0000_2 \times 2^{-3} = 0.125 $
• ​精度（间隔）​：
  • ​1.0附近：相邻数间隔为 $ 0.0625 $（如 1.0 和 1.0625）。
  • ​最大值附近：间隔为 $ 1.0 $。

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2. β=4（四进制）

• ​阶码范围：$ E = -3 \sim 4 $
• ​尾数范围：\(1.0000_4 \leq M < 3.3333_4\)（十进制：$ 1 \leq M < 3.99609375 $）
• ​数值范围：
  • ​最大正数：$ 3.99609375 \times 4^4 \approx 1023 $
  • ​最小正数：$ 1.0000_4 \times 4^{-3} = 0.015625 $
• ​精度（间隔）​：
  • ​1.0附近：相邻数间隔为 $ 0.00390625 $（如 1.0 和 1.00390625）。
  • ​最大值附近：间隔仍为 $ 1.0 $。

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对比表格

​参数	β=2（二进制）	β=4（四进制）
​最大正数	≈31	≈1023
​最小正数	0.125	0.015625
​1.0附近间隔	0.0625	0.00390625
​最大值附近间隔	1.0	1.0

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关键结论

1. ​范围扩展：基数越大，阶码缩放能力越强（β=4的最大值是β=2的33倍）。
2. ​精度分布：
   • 基数增大时，​小数区域精度更高​（β=4在1.0附近的间隔更小）。
   • 但在大数区域，两者的绝对间隔相同（均为1.0），但β=4的相对精度更差（因数值范围更大）。