1.程序设计思维与实践 Week12 作业C - 必做题 - 3

题意

东东每个学期都会去寝室接受扫楼的任务，并清点每个寝室的人数。
每个寝室里面有ai个人(1<=i<=n)。从第i到第j个宿舍一共有sum(i,j)=a[i]+…+a[j]个人
这让宿管阿姨非常开心，并且让东东扫楼m次，每一次数第i到第j个宿舍sum(i,j)
问题是要找到sum(i1, j1) + … + sum(im,jm)的最大值。且ix <= iy <=jx和ix <= jy <=jx的情况是不被允许的。也就是说m段都不能相交。
注：1 ≤ i ≤ n ≤ 1e6 , -32768 ≤ ai ≤ 32767 人数可以为负数。。。。(1<=n<=1000000)

输入输出

Input
1 3 1 2 3
2 6 -1 4 -2 3 -2 3
Output
6
8

这道题就是给一个长度为n的数组，在这个数组里选择m段，要求这m段不能交叉，求最大值
dp[i][j]是在前i个数中选择j段(每段至少一个数），要求j段的和最大，且必须选包含第i个数
第一种情况，选择的第i个数，和第i-1个数都是第j段里的数 dp[i-1][j]+num[i]
第二种情况，选择的第i个数，和第i-1个数不是一个段，单独构成了一个段 dp[k][j-1]+num[i]

朴素代码三重循环

  memset(dp,0,sizeof dp);
  for(int j=1;j<=m;j++){
      for(int i=1;i<=n;i++){
          dp[i][j]=dp[i-1][j]+num[i];
          for(int k=1;k<i;k++){
                   dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-1]+num[i]);
           }
        }
    }

观察式子可以发现 dp[k][j-1] 是dp[1][j-1],dp[2][j-1]....dp[i-1][j-1]的最大值，所以可以在遍历i的时候，处理该值，令mx[j-1]=dp[k][j-1]

优化后的代码是

  memset(dp,0,sizeof dp);
  for(int j=1;j<=m;j++){
    xx=-100000;//
    for(int i=1;i<=n;i++){
        dp[i]=max(dp[i-1]+num[i],mx[j-1]+num[i]);
        mx[j-1]=xx;
        xx=max(xx,dp[i]);
    }
  }

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int num[N],dp[N],xx,mx[N];//dp[i][j] 在[1,i]中选择不相交的j段 dp[i][j] =max(dp[i-1][j]+num[i],dp[k][j-1]+num[i])
int main(){
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&m,&n)){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&num[i]);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",num[i]);
        printf("\n");
        memset(dp,0,sizeof dp);
        for(int j=1;j<=m;j++){
            xx=-100000;//
            for(int i=1;i<=n;i++){
                dp[i]=max(dp[i-1]+num[i],mx[j-1]+num[i]);
                mx[j-1]=xx;
                printf("i==%d j==%d xx==%d\n",i,j,xx);
                xx=max(xx,dp[i]);
            }
        }
        printf("%d\n",dp[n]);
    }
}

2.最长上升公共子序列 Acwing272

题意

熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。
小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们研究最长公共上升子序列了。
小沐沐说，对于两个数列 A 和 B，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。
奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。
不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。
数列 A 和 B 的长度均不超过 3000。

输入输出

4
2 2 1 3
2 1 2 3

令dp[i][j] 表示数组a里从1到i,数组b里从1到j的最长上升公共子序列 dp[i][j]=k 就是a数组 1i和b数组的1j 的公共上升子序列的长度为k，且该序列的最后一个数是b[j]
//如果这个公共上升子序列不包含a[i] dp[i][j]=dp[i-1][j]
//如果包含a[i] dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][k]+1) if(b[k]<b[j])

朴素代码三重循环

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=n;j++){
        dp[i][j]=dp[i-1][j];
        for(int k=1;k<j;k++){
             if(b[k]<b[j]) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][k]+1);
         }
     }
}