附录-欧拉角与万向锁的理解

欧拉角

欧拉角用来在3D世界中表示物体的朝向，从物体的最初始状态（一般会选择和世界坐标系重合作为最初状态）绕着自身坐标系的xyz三个轴进行旋转三个角度，来表示物体的朝向。

例如下图中：

 

 

最初蓝色的坐标系xyz，绕着z轴旋转α度，得到绿色的坐标系，x轴指向N的方向；然后再绕最新的坐标系中的y轴旋转γ度，将N旋转到红色的X方向；最后绕最新的X轴旋转β度，得到最新的红色的坐标系。

有一点需要说明的是，欧拉角描述的绕着坐标轴的旋转，都是绕着物体的本地坐标系的坐标轴进行旋转。可见下面的动图：

 

 

欧拉角并不是一个静态的数字，它其实是表示从物体的初始状态到目的状态的一个转换过程——进行坐标轴的旋转。

由于使用角度进行表示，那么就会存在一个朝向有无数种角度表示，因此一般欧拉角会限制角度的范围。例如pitch限制在[-90,90]

以内，roll和yaw限制在[-180,180] 范围内。

 

数学表示

 

一个欧拉角可以拆分成分别对XYZ三个轴进行旋转得到。因此可以将欧拉角表示成三个旋转矩阵

 

 

 先绕z轴进行旋转，再绕y轴进行旋转，再绕x轴进行旋转（绕轴旋转的顺序可以随意指定，定好规则就行）。其中三个旋转矩阵如下：

 

 

万向锁

假设我们按照z-y-x的顺序对物体进行旋转，先绕z轴旋转α度，再绕y轴旋转90度，再绕x轴旋转β度，这个时候就会出现万向锁。这个时候最后绕x轴旋转β角度，最终得到的效果和绕z轴旋转是一样的，这样就退化成只有两个轴的旋转有作用，另一个轴的自由度丢失了。可以在Unity或UE4中设置Rotation的值看看，当改变绕z或绕x旋转的角度时，物体是在绕同一个轴进行旋转。这就会导致在逻辑上出现问题，导致出现明明数据上是有绕z轴旋转，可是最终的姿态却没有绕z轴旋转的现象。

先从数学上去理解这个问题：

按照上面的旋转矩阵公式，得到

 

 

可见，最终的结果只与绕y轴和绕x轴旋转有关，因此无论怎么改变α和β的值，最终的旋转矩阵至于两个轴有关系，另一个轴失去了意义。

而从形象的角度来理解这个问题，可以如下所示

 

 图A：最初物体的朝向，自身坐标系和世界坐标系重合（x，y，z轴分别是红色，绿色，蓝色的箭头）

 

 图B：先绕x轴旋转30°

 

 图C：再绕y轴旋转90°

 

 图D：再绕z轴旋转10°

看图C和图D，可见，当绕Z轴旋转10°的时候，这个时候表现上是绕着红色的X轴旋转了10°，物体的最长边还是竖直的，并没有按照正常情况去绕蓝色的箭头（Z轴）去使最长边不再竖直。

并且上述情况下，和先绕X轴旋转20度，再绕y轴旋转90度得到的最终姿态是一模一样的，如图：

 

 

这个时候，在绕y轴旋转90度的情况下，绕x轴旋转20度和先绕x旋转30度再绕z轴旋转10度，最终的物体的姿态是一模一样的。这时以及丧失了在Z轴上的旋转自由度。

 

理解这个问题的关键在于：欧拉角是由三个角度表示，表示物体从原始姿态到目标姿态的一个变换。无论（α，β，γ）三个角度值是多少，都是得从物体的原始姿态开始进行绕轴进行旋转。所以物体的姿态都是相对于其最原始姿态的，上述图例中说到的，先绕X轴旋转30度，再绕Y轴旋转90度，再绕Z轴旋转10度得到的最终姿态和先绕X轴旋转20度，再绕Y轴旋转90度的结果一样。因此相对于最初姿态而言，当一个欧拉角包含绕Y轴旋转90度时，绕X轴和绕Z轴旋转已经是在绕同一个轴在进行旋转，这个时候只有两个轴在起作用。这个时候就是万向锁的状态。

自己拿一个手机来做一下试验，有助于理解万象锁：

可以拿出手机放在桌面上，屏幕朝上，手机的最长边垂直与桌子的边缘设置为X轴，这个时候屏幕的短边平行于桌子的边缘设置为Y轴，因此垂直与屏幕的向量为Z轴。我们先绕手机的最长边X轴顺时针旋转30度，这个时候手机离开桌面，留下一个长边与桌子接触；然后再绕Y轴，也就是手机的短边旋转90度，让屏幕面与桌子的边缘平行；再绕Z轴旋转10度，也就是绕垂直于屏幕的轴旋转10度，这个时候你会发现，绕Z轴旋转时，屏幕面还是平行桌子的边缘，而此时绕Z轴旋转的角度给手机姿态带来的影响和最开始旋转X轴给手机姿态带来的影响是一样的——都是使手机最终的姿态（已经绕Y轴旋转了90度使得手机屏幕与桌子边缘平行）为绕着垂直于屏幕的轴旋转一定的角度。你完全可以不用绕Z轴旋转，通过调节绕X轴旋转的角度数，使得最终手机的姿态和上述旋转过程达到的姿态一样。此时就是造成了万向锁。

 

之前看其他地方的各种说法都是说绕Y轴旋转90度后，使得哪两个轴重合了，这个一直没理解到位，其实不应该去这样解释两个轴重合了，都是绕物体的本地坐标系的坐标轴去旋转，怎么可能让物体的两个轴重合。并且还有些拿船上的陀螺仪作为例子讲解的，也不恰当，那个装置的旋转和物体自己去旋转还是不一样，那个装置有结构上的影响。今天算是搞明白了最终的万向锁所表达的意思。

 

备注：   转载于知乎文章：https://zhuanlan.zhihu.com/p/346718090